Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33541 / 32525
↖ ↑ ↗
← N  1.334718°
E  4.246216°		 ← 610.62 m → N  1.334718°
E  4.251709°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.329227°
E  4.246216°		 ← 610.62 m →
372 883 m²		 N  1.329227°
E  4.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511802673339844 y=0.496299743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511802673339844 × 216)
    floor (0.511802673339844 × 65536)
    floor (33541.5)     		tx = 33541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496299743652344 × 216)
    floor (0.496299743652344 × 65536)
    floor (32525.5)     		ty = 32525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33541 / 32525 ti = "16/33541/32525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33541/32525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33541 ÷ 216
    33541 ÷ 65536     		x = 0.511795043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32525 ÷ 216
    32525 ÷ 65536     		y = 0.496292114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511795043945312 × 2 - 1) × π
    0.023590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07411045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496292114257812 × 2 - 1) × π
    0.007415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0232973332153473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07411045} λ = 0.07411045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0232973332153473))-π/2
    2×atan(1.02357083591405)-π/2
    2×0.797045776398569-π/2
    1.59409155279714-1.57079632675     		φ = 0.02329523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07411045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.246216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02329523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.334718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33541 KachelY 32525 0.07411045 0.02329523 4.246216 1.334718
    Oben rechts KachelX + 1 33542 KachelY 32525 0.07420632 0.02329523 4.251709 1.334718
    Unten links KachelX 33541 KachelY + 1 32526 0.07411045 0.02319938 4.246216 1.329227
    Unten rechts KachelX + 1 33542 KachelY + 1 32526 0.07420632 0.02319938 4.251709 1.329227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02329523-0.02319938) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02329523-0.02319938) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07411045-0.07420632) × cos(0.02329523) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.999728678399746 × 6371000     		do = 610.622050084903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07411045-0.07420632) × cos(0.02319938) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.99973090645323 × 6371000     		du = 610.623410952722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02329523)-sin(0.02319938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999728678399746-0.99973090645323)×R²
    abs(0.07420632-0.07411045)×2.22805348359945e-06×R²
    9.58700000000118e-05×2.22805348359945e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.22805348359945e-06×40589641000000     		ar = 372883.090622059m²