Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33534 / 32522
↖ ↑ ↗
← N  1.351193°
E  4.207764°		 ← 610.62 m → N  1.351193°
E  4.213257°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.345701°
E  4.207764°		 ← 610.62 m →
372 881 m²		 N  1.345701°
E  4.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511695861816406 y=0.496253967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511695861816406 × 216)
    floor (0.511695861816406 × 65536)
    floor (33534.5)     		tx = 33534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496253967285156 × 216)
    floor (0.496253967285156 × 65536)
    floor (32522.5)     		ty = 32522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33534 / 32522 ti = "16/33534/32522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33534/32522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33534 ÷ 216
    33534 ÷ 65536     		x = 0.511688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32522 ÷ 216
    32522 ÷ 65536     		y = 0.496246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511688232421875 × 2 - 1) × π
    0.02337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07343933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496246337890625 × 2 - 1) × π
    0.00750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07343933} λ = 0.07343933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0235849546130676))-π/2
    2×atan(1.02386527913059)-π/2
    2×0.797189547594907-π/2
    1.59437909518981-1.57079632675     		φ = 0.02358277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07343933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.207764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02358277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.351193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33534 KachelY 32522 0.07343933 0.02358277 4.207764 1.351193
    Oben rechts KachelX + 1 33535 KachelY 32522 0.07353520 0.02358277 4.213257 1.351193
    Unten links KachelX 33534 KachelY + 1 32523 0.07343933 0.02348692 4.207764 1.345701
    Unten rechts KachelX + 1 33535 KachelY + 1 32523 0.07353520 0.02348692 4.213257 1.345701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02358277-0.02348692) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02358277-0.02348692) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07343933-0.07353520) × cos(0.02358277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999721939366805 × 6371000     		do = 610.617933965913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07343933-0.07353520) × cos(0.02348692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999724194973458 × 6371000     		du = 610.61931166287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02358277)-sin(0.02348692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999721939366805-0.999724194973458)×R²
    abs(0.07353520-0.07343933)×2.25560665301217e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.25560665301217e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25560665301217e-06×40589641000000     		ar = 372880.582209823m²