Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33531 / 32499
↖ ↑ ↗
← N  1.477497°
E  4.191284°		 ← 610.58 m → N  1.477497°
E  4.196777°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.472006°
E  4.191284°		 ← 610.59 m →
372 821 m²		 N  1.472006°
E  4.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511650085449219 y=0.495903015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511650085449219 × 216)
    floor (0.511650085449219 × 65536)
    floor (33531.5)     		tx = 33531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495903015136719 × 216)
    floor (0.495903015136719 × 65536)
    floor (32499.5)     		ty = 32499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33531 / 32499 ti = "16/33531/32499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33531/32499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33531 ÷ 216
    33531 ÷ 65536     		x = 0.511642456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32499 ÷ 216
    32499 ÷ 65536     		y = 0.495895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511642456054688 × 2 - 1) × π
    0.023284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07315171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495895385742188 × 2 - 1) × π
    0.008209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0257900519955902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07315171} λ = 0.07315171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0257900519955902))-π/2
    2×atan(1.0261254928575)-π/2
    2×0.798291760161702-π/2
    1.5965835203234-1.57079632675     		φ = 0.02578719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07315171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.191284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02578719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.477497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33531 KachelY 32499 0.07315171 0.02578719 4.191284 1.477497
    Oben rechts KachelX + 1 33532 KachelY 32499 0.07324758 0.02578719 4.196777 1.477497
    Unten links KachelX 33531 KachelY + 1 32500 0.07315171 0.02569135 4.191284 1.472006
    Unten rechts KachelX + 1 33532 KachelY + 1 32500 0.07324758 0.02569135 4.196777 1.472006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02578719-0.02569135) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02578719-0.02569135) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07315171-0.07324758) × cos(0.02578719) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.999667528840431 × 6371000     		do = 610.584700681932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07315171-0.07324758) × cos(0.02569135) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.99966999541969 × 6371000     		du = 610.586207238378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02578719)-sin(0.02569135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999667528840431-0.99966999541969)×R²
    abs(0.07324758-0.07315171)×2.46657925928595e-06×R²
    9.58700000000118e-05×2.46657925928595e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.46657925928595e-06×40589641000000     		ar = 372821.426906322m²