Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33529 / 32504
↖ ↑ ↗
← N  1.450040°
E  4.180298°		 ← 610.66 m → N  1.450040°
E  4.185791°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.444549°
E  4.180298°		 ← 610.66 m →
372 865 m²		 N  1.444549°
E  4.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511619567871094 y=0.495979309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511619567871094 × 216)
    floor (0.511619567871094 × 65536)
    floor (33529.5)     		tx = 33529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495979309082031 × 216)
    floor (0.495979309082031 × 65536)
    floor (32504.5)     		ty = 32504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33529 / 32504 ti = "16/33529/32504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33529/32504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33529 ÷ 216
    33529 ÷ 65536     		x = 0.511611938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32504 ÷ 216
    32504 ÷ 65536     		y = 0.4959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511611938476562 × 2 - 1) × π
    0.023223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07295996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07295996} λ = 0.07295996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0253106829993896))-π/2
    2×atan(1.02563371799024)-π/2
    2×0.798052153880188-π/2
    1.59610430776038-1.57079632675     		φ = 0.02530798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07295996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02530798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.450040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33529 KachelY 32504 0.07295996 0.02530798 4.180298 1.450040
    Oben rechts KachelX + 1 33530 KachelY 32504 0.07305584 0.02530798 4.185791 1.450040
    Unten links KachelX 33529 KachelY + 1 32505 0.07295996 0.02521214 4.180298 1.444549
    Unten rechts KachelX + 1 33530 KachelY + 1 32505 0.07305584 0.02521214 4.185791 1.444549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02530798-0.02521214) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02530798-0.02521214) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07295996-0.07305584) × cos(0.02530798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99967977016681 × 6371000     		do = 610.655867132409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07295996-0.07305584) × cos(0.02521214) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999682190833515 × 6371000     		du = 610.657345800248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02530798)-sin(0.02521214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99967977016681-0.999682190833515)×R²
    abs(0.07305584-0.07295996)×2.42066670430585e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.42066670430585e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.42066670430585e-06×40589641000000     		ar = 372864.872387542m²