Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33528 / 32501
↖ ↑ ↗
← N  1.466515°
E  4.174805°		 ← 610.59 m → N  1.466515°
E  4.180298°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.461023°
E  4.174805°		 ← 610.59 m →
372 823 m²		 N  1.461023°
E  4.180298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511604309082031 y=0.495933532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511604309082031 × 216)
    floor (0.511604309082031 × 65536)
    floor (33528.5)     		tx = 33528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495933532714844 × 216)
    floor (0.495933532714844 × 65536)
    floor (32501.5)     		ty = 32501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33528 / 32501 ti = "16/33528/32501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33528/32501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33528 ÷ 216
    33528 ÷ 65536     		x = 0.5115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32501 ÷ 216
    32501 ÷ 65536     		y = 0.495925903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5115966796875 × 2 - 1) × π
    0.023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07286409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495925903320312 × 2 - 1) × π
    0.008148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.02559830439711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07286409} λ = 0.07286409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.02559830439711))-π/2
    2×atan(1.02592875462115)-π/2
    2×0.798195918001405-π/2
    1.59639183600281-1.57079632675     		φ = 0.02559551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07286409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02559551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.466515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33528 KachelY 32501 0.07286409 0.02559551 4.174805 1.466515
    Oben rechts KachelX + 1 33529 KachelY 32501 0.07295996 0.02559551 4.180298 1.466515
    Unten links KachelX 33528 KachelY + 1 32502 0.07286409 0.02549967 4.174805 1.461023
    Unten rechts KachelX + 1 33529 KachelY + 1 32502 0.07295996 0.02549967 4.180298 1.461023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02559551-0.02549967) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02559551-0.02549967) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07286409-0.07295996) × cos(0.02559551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999672452816675 × 6371000     		do = 610.587708186314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07286409-0.07295996) × cos(0.02549967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999674901031363 × 6371000     		du = 610.589203525903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02559551)-sin(0.02549967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999672452816675-0.999674901031363)×R²
    abs(0.07295996-0.07286409)×2.44821468786682e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.44821468786682e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44821468786682e-06×40589641000000     		ar = 372823.259853897m²