Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33527 / 32505
↖ ↑ ↗
← N  1.444549°
E  4.169311°		 ← 610.66 m → N  1.444549°
E  4.174805°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.439057°
E  4.169311°		 ← 610.66 m →
372 905 m²		 N  1.439057°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511589050292969 y=0.495994567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511589050292969 × 216)
    floor (0.511589050292969 × 65536)
    floor (33527.5)     		tx = 33527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495994567871094 × 216)
    floor (0.495994567871094 × 65536)
    floor (32505.5)     		ty = 32505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33527 / 32505 ti = "16/33527/32505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33527/32505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33527 ÷ 216
    33527 ÷ 65536     		x = 0.511581420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32505 ÷ 216
    32505 ÷ 65536     		y = 0.495986938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511581420898438 × 2 - 1) × π
    0.023162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07276821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495986938476562 × 2 - 1) × π
    0.008026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0252148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07276821} λ = 0.07276821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0252148092001495))-π/2
    2×atan(1.02553539130262)-π/2
    2×0.798004232273336-π/2
    1.59600846454667-1.57079632675     		φ = 0.02521214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07276821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.169311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02521214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.444549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33527 KachelY 32505 0.07276821 0.02521214 4.169311 1.444549
    Oben rechts KachelX + 1 33528 KachelY 32505 0.07286409 0.02521214 4.174805 1.444549
    Unten links KachelX 33527 KachelY + 1 32506 0.07276821 0.02511629 4.169311 1.439057
    Unten rechts KachelX + 1 33528 KachelY + 1 32506 0.07286409 0.02511629 4.174805 1.439057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02521214-0.02511629) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02521214-0.02511629) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07276821-0.07286409) × cos(0.02521214) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999682190833515 × 6371000     		do = 610.657345800336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07276821-0.07286409) × cos(0.02511629) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999684602568969 × 6371000     		du = 610.658819012508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02521214)-sin(0.02511629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999682190833515-0.999684602568969)×R²
    abs(0.07286409-0.07276821)×2.41173545434403e-06×R²
    9.58800000000065e-05×2.41173545434403e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.41173545434403e-06×40589641000000     		ar = 372904.678618136m²