Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33525 / 33542
↖ ↑ ↗
← S  4.247812°
E  4.158325°		 ← 609.11 m → S  4.247812°
E  4.163818°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
S  4.253290°
E  4.158325°		 ← 609.11 m →
371 027 m²		 S  4.253290°
E  4.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511558532714844 y=0.511817932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511558532714844 × 216)
    floor (0.511558532714844 × 65536)
    floor (33525.5)     		tx = 33525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511817932128906 × 216)
    floor (0.511817932128906 × 65536)
    floor (33542.5)     		ty = 33542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33525 / 33542 ti = "16/33525/33542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33525/33542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33525 ÷ 216
    33525 ÷ 65536     		x = 0.511550903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33542 ÷ 216
    33542 ÷ 65536     		y = 0.511810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511550903320312 × 2 - 1) × π
    0.023101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07257647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.02362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0742063206118469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07257647} λ = 0.07257647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0742063206118469))-π/2
    2×atan(0.928480109493788)-π/2
    2×0.748329008196833-π/2
    1.49665801639367-1.57079632675     		φ = -0.07413831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07257647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.158325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07413831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.247812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33525 KachelY 33542 0.07257647 -0.07413831 4.158325 -4.247812
    Oben rechts KachelX + 1 33526 KachelY 33542 0.07267234 -0.07413831 4.163818 -4.247812
    Unten links KachelX 33525 KachelY + 1 33543 0.07257647 -0.07423392 4.158325 -4.253290
    Unten rechts KachelX + 1 33526 KachelY + 1 33543 0.07267234 -0.07423392 4.163818 -4.253290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07413831--0.07423392) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dl = 609.131309999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07413831--0.07423392) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dr = 609.131309999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07257647-0.07267234) × cos(-0.07413831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997253014072537 × 6371000     		do = 609.10994459113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07257647-0.07267234) × cos(-0.07423392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997245927642383 × 6371000     		du = 609.105616286259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07413831)-sin(-0.07423392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997253014072537-0.997245927642383)×R²
    abs(0.07267234-0.07257647)×7.08643015423505e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.08643015423505e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.08643015423505e-06×40589641000000     		ar = 371026.620512455m²