Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33525 / 32507
↖ ↑ ↗
← N  1.433566°
E  4.158325°		 ← 610.60 m → N  1.433566°
E  4.163818°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.428075°
E  4.158325°		 ← 610.60 m →
372 829 m²		 N  1.428075°
E  4.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511558532714844 y=0.496025085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511558532714844 × 216)
    floor (0.511558532714844 × 65536)
    floor (33525.5)     		tx = 33525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496025085449219 × 216)
    floor (0.496025085449219 × 65536)
    floor (32507.5)     		ty = 32507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33525 / 32507 ti = "16/33525/32507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33525/32507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33525 ÷ 216
    33525 ÷ 65536     		x = 0.511550903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32507 ÷ 216
    32507 ÷ 65536     		y = 0.496017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511550903320312 × 2 - 1) × π
    0.023101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07257647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496017456054688 × 2 - 1) × π
    0.007965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0250230616016693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07257647} λ = 0.07257647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0250230616016693))-π/2
    2×atan(1.02533876620598)-π/2
    2×0.797908388712603-π/2
    1.59581677742521-1.57079632675     		φ = 0.02502045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07257647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.158325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02502045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.433566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33525 KachelY 32507 0.07257647 0.02502045 4.158325 1.433566
    Oben rechts KachelX + 1 33526 KachelY 32507 0.07267234 0.02502045 4.163818 1.433566
    Unten links KachelX 33525 KachelY + 1 32508 0.07257647 0.02492461 4.158325 1.428075
    Unten rechts KachelX + 1 33526 KachelY + 1 32508 0.07267234 0.02492461 4.163818 1.428075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02502045-0.02492461) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02502045-0.02492461) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07257647-0.07267234) × cos(0.02502045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99968700486992 × 6371000     		do = 610.596596402464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07257647-0.07267234) × cos(0.02492461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999689397988441 × 6371000     		du = 610.598058089989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02502045)-sin(0.02492461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99968700486992-0.999689397988441)×R²
    abs(0.07267234-0.07257647)×2.39311852057167e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.39311852057167e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.39311852057167e-06×40589641000000     		ar = 372828.676694899m²