Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33496 / 34008
↖ ↑ ↗
← S  6.795535°
E  3.999024°		 ← 606.50 m → S  6.795535°
E  4.004517°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
S  6.800990°
E  3.999024°		 ← 606.49 m →
367 850 m²		 S  6.800990°
E  4.004517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511116027832031 y=0.518928527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511116027832031 × 216)
    floor (0.511116027832031 × 65536)
    floor (33496.5)     		tx = 33496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518928527832031 × 216)
    floor (0.518928527832031 × 65536)
    floor (34008.5)     		ty = 34008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33496 / 34008 ti = "16/33496/34008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33496/34008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33496 ÷ 216
    33496 ÷ 65536     		x = 0.5111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34008 ÷ 216
    34008 ÷ 65536     		y = 0.5189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5111083984375 × 2 - 1) × π
    0.022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06979613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.118883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06979613} λ = 0.06979613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118883511057739))-π/2
    2×atan(0.887911226577457)-π/2
    2×0.726095933082434-π/2
    1.45219186616487-1.57079632675     		φ = -0.11860446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06979613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.999024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11860446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.795535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33496 KachelY 34008 0.06979613 -0.11860446 3.999024 -6.795535
    Oben rechts KachelX + 1 33497 KachelY 34008 0.06989200 -0.11860446 4.004517 -6.795535
    Unten links KachelX 33496 KachelY + 1 34009 0.06979613 -0.11869966 3.999024 -6.800990
    Unten rechts KachelX + 1 33497 KachelY + 1 34009 0.06989200 -0.11869966 4.004517 -6.800990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11860446--0.11869966) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dl = 606.519200000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11860446--0.11869966) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dr = 606.519200000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06979613-0.06989200) × cos(-0.11860446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992974732210316 × 6371000     		do = 606.496822353073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06979613-0.06989200) × cos(-0.11869966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992963463019566 × 6371000     		du = 606.489939269185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11860446)-sin(-0.11869966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992974732210316-0.992963463019566)×R²
    abs(0.06989200-0.06979613)×1.12691907505624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12691907505624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12691907505624e-05×40589641000000     		ar = 367849.880412685m²