Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33481 / 33865
↖ ↑ ↗
← S  6.014922°
E  3.916626°		 ← 607.43 m → S  6.014922°
E  3.922119°		 →
↑
607.41 m
↓
↑
607.41 m
↓
S  6.020385°
E  3.916626°		 ← 607.42 m →
368 955 m²		 S  6.020385°
E  3.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510887145996094 y=0.516746520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510887145996094 × 216)
    floor (0.510887145996094 × 65536)
    floor (33481.5)     		tx = 33481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516746520996094 × 216)
    floor (0.516746520996094 × 65536)
    floor (33865.5)     		ty = 33865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33481 / 33865 ti = "16/33481/33865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33481/33865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33481 ÷ 216
    33481 ÷ 65536     		x = 0.510879516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33865 ÷ 216
    33865 ÷ 65536     		y = 0.516738891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510879516601562 × 2 - 1) × π
    0.021759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06835802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516738891601562 × 2 - 1) × π
    -0.033477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.105173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06835802} λ = 0.06835802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.105173557766403))-π/2
    2×atan(0.900168277832225)-π/2
    2×0.732908065185639-π/2
    1.46581613037128-1.57079632675     		φ = -0.10498020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06835802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.916626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10498020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.014922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33481 KachelY 33865 0.06835802 -0.10498020 3.916626 -6.014922
    Oben rechts KachelX + 1 33482 KachelY 33865 0.06845389 -0.10498020 3.922119 -6.014922
    Unten links KachelX 33481 KachelY + 1 33866 0.06835802 -0.10507554 3.916626 -6.020385
    Unten rechts KachelX + 1 33482 KachelY + 1 33866 0.06845389 -0.10507554 3.922119 -6.020385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10498020--0.10507554) × R
    9.53399999999993e-05 × 6371000     		dl = 607.411139999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10498020--0.10507554) × R
    9.53399999999993e-05 × 6371000     		dr = 607.411139999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06835802-0.06845389) × cos(-0.10498020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9944946377355 × 6371000     		do = 607.42516205941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06835802-0.06845389) × cos(-0.10507554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994484642777539 × 6371000     		du = 607.419057261327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10498020)-sin(-0.10507554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9944946377355-0.994484642777539)×R²
    abs(0.06845389-0.06835802)×9.99495796039085e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.99495796039085e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.99495796039085e-06×40589641000000     		ar = 368954.956369478m²