Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33430 / 33420
↖ ↑ ↗
← S  3.579213°
E  3.636475°		 ← 609.60 m → S  3.579213°
E  3.641968°		 →
↑
609.58 m
↓
↑
609.58 m
↓
S  3.584695°
E  3.636475°		 ← 609.59 m →
371 595 m²		 S  3.584695°
E  3.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510108947753906 y=0.509956359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510108947753906 × 216)
    floor (0.510108947753906 × 65536)
    floor (33430.5)     		tx = 33430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509956359863281 × 216)
    floor (0.509956359863281 × 65536)
    floor (33420.5)     		ty = 33420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33430 / 33420 ti = "16/33430/33420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33430/33420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33430 ÷ 216
    33430 ÷ 65536     		x = 0.510101318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33420 ÷ 216
    33420 ÷ 65536     		y = 0.50994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510101318359375 × 2 - 1) × π
    0.02020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06346846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.0198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06346846} λ = 0.06346846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0625097171045532))-π/2
    2×atan(0.939403934482876)-π/2
    2×0.754163639526966-π/2
    1.50832727905393-1.57079632675     		φ = -0.06246905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06346846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06246905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.579213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33430 KachelY 33420 0.06346846 -0.06246905 3.636475 -3.579213
    Oben rechts KachelX + 1 33431 KachelY 33420 0.06356433 -0.06246905 3.641968 -3.579213
    Unten links KachelX 33430 KachelY + 1 33421 0.06346846 -0.06256473 3.636475 -3.584695
    Unten rechts KachelX + 1 33431 KachelY + 1 33421 0.06356433 -0.06256473 3.641968 -3.584695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06246905--0.06256473) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dl = 609.577280000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06246905--0.06256473) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dr = 609.577280000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06346846-0.06356433) × cos(-0.06246905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99804944333797 × 6371000     		do = 609.596393846127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06346846-0.06356433) × cos(-0.06256473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998043465617562 × 6371000     		du = 609.592742727609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06246905)-sin(-0.06256473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99804944333797-0.998043465617562)×R²
    abs(0.06356433-0.06346846)×5.97772040789035e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.97772040789035e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.97772040789035e-06×40589641000000     		ar = 371594.999122576m²