Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33427 / 33428
↖ ↑ ↗
← S  3.623071°
E  3.619995°		 ← 609.63 m → S  3.623071°
E  3.625488°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.628554°
E  3.619995°		 ← 609.63 m →
371 655 m²		 S  3.628554°
E  3.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510063171386719 y=0.510078430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510063171386719 × 216)
    floor (0.510063171386719 × 65536)
    floor (33427.5)     		tx = 33427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510078430175781 × 216)
    floor (0.510078430175781 × 65536)
    floor (33428.5)     		ty = 33428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33427 / 33428 ti = "16/33427/33428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33427/33428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33427 ÷ 216
    33427 ÷ 65536     		x = 0.510055541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33428 ÷ 216
    33428 ÷ 65536     		y = 0.51007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510055541992188 × 2 - 1) × π
    0.020111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06318083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06318083} λ = 0.06318083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0632767074984741))-π/2
    2×atan(0.938683696932066)-π/2
    2×0.753780901559646-π/2
    1.50756180311929-1.57079632675     		φ = -0.06323452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06318083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.619995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06323452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.623071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33427 KachelY 33428 0.06318083 -0.06323452 3.619995 -3.623071
    Oben rechts KachelX + 1 33428 KachelY 33428 0.06327671 -0.06323452 3.625488 -3.623071
    Unten links KachelX 33427 KachelY + 1 33429 0.06318083 -0.06333021 3.619995 -3.628554
    Unten rechts KachelX + 1 33428 KachelY + 1 33429 0.06327671 -0.06333021 3.625488 -3.628554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06323452--0.06333021) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dl = 609.640989999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06323452--0.06333021) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dr = 609.640989999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06318083-0.06327671) × cos(-0.06323452) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998001363852983 × 6371000     		do = 609.630610151655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06318083-0.06327671) × cos(-0.06333021) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.997995312404363 × 6371000     		du = 609.626913615309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06323452)-sin(-0.06333021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998001363852983-0.997995312404363)×R²
    abs(0.06327671-0.06318083)×6.05144861987039e-06×R²
    9.58800000000065e-05×6.05144861987039e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×6.05144861987039e-06×40589641000000     		ar = 371654.682210674m²