Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33426 / 33429
↖ ↑ ↗
← S  3.628554°
E  3.614502°		 ← 609.56 m → S  3.628554°
E  3.619995°		 →
↑
609.58 m
↓
↑
609.58 m
↓
S  3.634036°
E  3.614502°		 ← 609.56 m →
371 575 m²		 S  3.634036°
E  3.619995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510047912597656 y=0.510093688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510047912597656 × 216)
    floor (0.510047912597656 × 65536)
    floor (33426.5)     		tx = 33426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510093688964844 × 216)
    floor (0.510093688964844 × 65536)
    floor (33429.5)     		ty = 33429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33426 / 33429 ti = "16/33426/33429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33426/33429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33426 ÷ 216
    33426 ÷ 65536     		x = 0.510040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33429 ÷ 216
    33429 ÷ 65536     		y = 0.510086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510040283203125 × 2 - 1) × π
    0.02008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06308496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510086059570312 × 2 - 1) × π
    -0.020172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0633725812977142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06308496} λ = 0.06308496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0633725812977142))-π/2
    2×atan(0.938593706073708)-π/2
    2×0.753733060613452-π/2
    1.5074661212269-1.57079632675     		φ = -0.06333021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06308496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.614502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06333021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.628554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33426 KachelY 33429 0.06308496 -0.06333021 3.614502 -3.628554
    Oben rechts KachelX + 1 33427 KachelY 33429 0.06318083 -0.06333021 3.619995 -3.628554
    Unten links KachelX 33426 KachelY + 1 33430 0.06308496 -0.06342589 3.614502 -3.634036
    Unten rechts KachelX + 1 33427 KachelY + 1 33430 0.06318083 -0.06342589 3.619995 -3.634036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06333021--0.06342589) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dl = 609.577280000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06333021--0.06342589) × R
    9.56800000000008e-05 × 6371000     		dr = 609.577280000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06308496-0.06318083) × cos(-0.06333021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997995312404363 × 6371000     		do = 609.563331333901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06308496-0.06318083) × cos(-0.06342589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997989252451357 × 6371000     		du = 609.559629988718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06333021)-sin(-0.06342589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997995312404363-0.997989252451357)×R²
    abs(0.06318083-0.06308496)×6.05995300617668e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.05995300617668e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.05995300617668e-06×40589641000000     		ar = 371574.829657775m²