Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33423 / 33415
↖ ↑ ↗
← S  3.551800°
E  3.598023°		 ← 609.61 m → S  3.551800°
E  3.603515°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.557283°
E  3.598023°		 ← 609.61 m →
371 645 m²		 S  3.557283°
E  3.603515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510002136230469 y=0.509880065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510002136230469 × 216)
    floor (0.510002136230469 × 65536)
    floor (33423.5)     		tx = 33423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509880065917969 × 216)
    floor (0.509880065917969 × 65536)
    floor (33415.5)     		ty = 33415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33423 / 33415 ti = "16/33423/33415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33423/33415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33423 ÷ 216
    33423 ÷ 65536     		x = 0.509994506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33415 ÷ 216
    33415 ÷ 65536     		y = 0.509872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509994506835938 × 2 - 1) × π
    0.019989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06279734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509872436523438 × 2 - 1) × π
    -0.019744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0620303481083527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06279734} λ = 0.06279734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0620303481083527))-π/2
    2×atan(0.939854363556217)-π/2
    2×0.754402860077249-π/2
    1.5088057201545-1.57079632675     		φ = -0.06199061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06279734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.598023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06199061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.551800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33423 KachelY 33415 0.06279734 -0.06199061 3.598023 -3.551800
    Oben rechts KachelX + 1 33424 KachelY 33415 0.06289321 -0.06199061 3.603515 -3.551800
    Unten links KachelX 33423 KachelY + 1 33416 0.06279734 -0.06208630 3.598023 -3.557283
    Unten rechts KachelX + 1 33424 KachelY + 1 33416 0.06289321 -0.06208630 3.603515 -3.557283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06199061--0.06208630) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dl = 609.640989999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06199061--0.06208630) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dr = 609.640989999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06279734-0.06289321) × cos(-0.06199061) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.99807919736487 × 6371000     		do = 609.614567241954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06279734-0.06289321) × cos(-0.06208630) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.998073264712392 × 6371000     		du = 609.610943650376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06199061)-sin(-0.06208630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99807919736487-0.998073264712392)×R²
    abs(0.06289321-0.06279734)×5.93265247805785e-06×R²
    9.58700000000118e-05×5.93265247805785e-06×6371000²
    9.58700000000118e-05×5.93265247805785e-06×40589641000000     		ar = 371644.924030395m²