Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33416 / 33450
↖ ↑ ↗
← S  3.743671°
E  3.559570°		 ← 609.55 m → S  3.743671°
E  3.565064°		 →
↑
609.51 m
↓
↑
609.51 m
↓
S  3.749153°
E  3.559570°		 ← 609.54 m →
371 527 m²		 S  3.749153°
E  3.565064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509895324707031 y=0.510414123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509895324707031 × 216)
    floor (0.509895324707031 × 65536)
    floor (33416.5)     		tx = 33416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510414123535156 × 216)
    floor (0.510414123535156 × 65536)
    floor (33450.5)     		ty = 33450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33416 / 33450 ti = "16/33416/33450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33416/33450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33416 ÷ 216
    33416 ÷ 65536     		x = 0.5098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33450 ÷ 216
    33450 ÷ 65536     		y = 0.510406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.02081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0653859310817566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06212622} λ = 0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0653859310817566))-π/2
    2×atan(0.936705889693333)-π/2
    2×0.752728468470023-π/2
    1.50545693694005-1.57079632675     		φ = -0.06533939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06533939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.743671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33416 KachelY 33450 0.06212622 -0.06533939 3.559570 -3.743671
    Oben rechts KachelX + 1 33417 KachelY 33450 0.06222210 -0.06533939 3.565064 -3.743671
    Unten links KachelX 33416 KachelY + 1 33451 0.06212622 -0.06543506 3.559570 -3.749153
    Unten rechts KachelX + 1 33417 KachelY + 1 33451 0.06222210 -0.06543506 3.565064 -3.749153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06533939--0.06543506) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dl = 609.513570000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06533939--0.06543506) × R
    9.5670000000006e-05 × 6371000     		dr = 609.513570000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06212622-0.06222210) × cos(-0.06533939) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997866141381443 × 6371000     		do = 609.548009304741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06212622-0.06222210) × cos(-0.06543506) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997859890242298 × 6371000     		du = 609.544190787143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06533939)-sin(-0.06543506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997866141381443-0.997859890242298)×R²
    abs(0.06222210-0.06212622)×6.25113914409781e-06×R²
    9.58799999999996e-05×6.25113914409781e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×6.25113914409781e-06×40589641000000     		ar = 371526.619801991m²