Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33415 / 33447
↖ ↑ ↗
← S  3.727227°
E  3.554077°		 ← 609.50 m → S  3.727227°
E  3.559570°		 →
↑
609.51 m
↓
↑
609.51 m
↓
S  3.732708°
E  3.554077°		 ← 609.49 m →
371 495 m²		 S  3.732708°
E  3.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509880065917969 y=0.510368347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509880065917969 × 216)
    floor (0.509880065917969 × 65536)
    floor (33415.5)     		tx = 33415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510368347167969 × 216)
    floor (0.510368347167969 × 65536)
    floor (33447.5)     		ty = 33447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33415 / 33447 ti = "16/33415/33447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33415/33447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33415 ÷ 216
    33415 ÷ 65536     		x = 0.509872436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33447 ÷ 216
    33447 ÷ 65536     		y = 0.510360717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509872436523438 × 2 - 1) × π
    0.019744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06203035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510360717773438 × 2 - 1) × π
    -0.020721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0650983096840363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06203035} λ = 0.06203035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0650983096840363))-π/2
    2×atan(0.936975345099292)-π/2
    2×0.752871973642698-π/2
    1.5057439472854-1.57079632675     		φ = -0.06505238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06203035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.554077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06505238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.727227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33415 KachelY 33447 0.06203035 -0.06505238 3.554077 -3.727227
    Oben rechts KachelX + 1 33416 KachelY 33447 0.06212622 -0.06505238 3.559570 -3.727227
    Unten links KachelX 33415 KachelY + 1 33448 0.06203035 -0.06514805 3.554077 -3.732708
    Unten rechts KachelX + 1 33416 KachelY + 1 33448 0.06212622 -0.06514805 3.559570 -3.732708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06505238--0.06514805) × R
    9.56699999999922e-05 × 6371000     		dl = 609.51356999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06505238--0.06514805) × R
    9.56699999999922e-05 × 6371000     		dr = 609.51356999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06203035-0.06212622) × cos(-0.06505238) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997884839999337 × 6371000     		do = 609.495856140033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06203035-0.06212622) × cos(-0.06514805) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.997878616260019 × 6371000     		du = 609.492054756174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06505238)-sin(-0.06514805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997884839999337-0.997878616260019)×R²
    abs(0.06212622-0.06203035)×6.22373931824516e-06×R²
    9.58700000000048e-05×6.22373931824516e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×6.22373931824516e-06×40589641000000     		ar = 371494.836961907m²