Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33414 / 33413
↖ ↑ ↗
← S  3.540835°
E  3.548584°		 ← 609.69 m → S  3.540835°
E  3.554077°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.546318°
E  3.548584°		 ← 609.68 m →
371 688 m²		 S  3.546318°
E  3.554077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509864807128906 y=0.509849548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509864807128906 × 216)
    floor (0.509864807128906 × 65536)
    floor (33414.5)     		tx = 33414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509849548339844 × 216)
    floor (0.509849548339844 × 65536)
    floor (33413.5)     		ty = 33413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33414 / 33413 ti = "16/33414/33413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33414/33413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33414 ÷ 216
    33414 ÷ 65536     		x = 0.509857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33413 ÷ 216
    33413 ÷ 65536     		y = 0.509841918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509857177734375 × 2 - 1) × π
    0.01971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06193447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509841918945312 × 2 - 1) × π
    -0.019683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0618386005098724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06193447} λ = 0.06193447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0618386005098724))-π/2
    2×atan(0.940034595652334)-π/2
    2×0.754498550289627-π/2
    1.50899710057925-1.57079632675     		φ = -0.06179923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06193447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.548584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06179923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.540835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33414 KachelY 33413 0.06193447 -0.06179923 3.548584 -3.540835
    Oben rechts KachelX + 1 33415 KachelY 33413 0.06203035 -0.06179923 3.554077 -3.540835
    Unten links KachelX 33414 KachelY + 1 33414 0.06193447 -0.06189492 3.548584 -3.546318
    Unten rechts KachelX + 1 33415 KachelY + 1 33414 0.06203035 -0.06189492 3.554077 -3.546318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06179923--0.06189492) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dl = 609.640990000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06179923--0.06189492) × R
    9.56900000000024e-05 × 6371000     		dr = 609.640990000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06193447-0.06203035) × cos(-0.06179923) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998091035252808 × 6371000     		do = 609.685386058907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06193447-0.06203035) × cos(-0.06189492) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99808512087836 × 6371000     		du = 609.681773254522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06179923)-sin(-0.06189492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998091035252808-0.99808512087836)×R²
    abs(0.06203035-0.06193447)×5.91437444774634e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.91437444774634e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.91437444774634e-06×40589641000000     		ar = 371688.101372277m²