Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33401 / 22091
↖ ↑ ↗
← N 50.474987°
E  3.477173°		 ← 388.76 m → N 50.474987°
E  3.482666°		 →
↑
388.76 m
↓
↑
388.76 m
↓
N 50.471491°
E  3.477173°		 ← 388.78 m →
151 137 m²		 N 50.471491°
E  3.482666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509666442871094 y=0.337089538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509666442871094 × 216)
    floor (0.509666442871094 × 65536)
    floor (33401.5)     		tx = 33401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337089538574219 × 216)
    floor (0.337089538574219 × 65536)
    floor (22091.5)     		ty = 22091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33401 / 22091 ti = "16/33401/22091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33401/22091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33401 ÷ 216
    33401 ÷ 65536     		x = 0.509658813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22091 ÷ 216
    22091 ÷ 65536     		y = 0.337081909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509658813476562 × 2 - 1) × π
    0.019317626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06068811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337081909179688 × 2 - 1) × π
    0.325836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02364455448668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06068811} λ = 0.06068811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02364455448668))-π/2
    2×atan(2.78332026364349)-π/2
    2×1.22587551915272-π/2
    2.45175103830545-1.57079632675     		φ = 0.88095471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06068811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.477173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88095471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.474987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33401 KachelY 22091 0.06068811 0.88095471 3.477173 50.474987
    Oben rechts KachelX + 1 33402 KachelY 22091 0.06078399 0.88095471 3.482666 50.474987
    Unten links KachelX 33401 KachelY + 1 22092 0.06068811 0.88089369 3.477173 50.471491
    Unten rechts KachelX + 1 33402 KachelY + 1 22092 0.06078399 0.88089369 3.482666 50.471491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88095471-0.88089369) × R
    6.10200000000782e-05 × 6371000     		dl = 388.758420000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88095471-0.88089369) × R
    6.10200000000782e-05 × 6371000     		dr = 388.758420000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06068811-0.06078399) × cos(0.88095471) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.636415021822856 × 6371000     		do = 388.755057974722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06068811-0.06078399) × cos(0.88089369) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.636462088221086 × 6371000     		du = 388.783808553739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88095471)-sin(0.88089369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636415021822856-0.636462088221086)×R²
    abs(0.06078399-0.06068811)×4.70663982301556e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.70663982301556e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.70663982301556e-05×40589641000000     		ar = 151137.390667197m²