Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33390 / 22002
↖ ↑ ↗
← N 50.785102°
E  3.416748°		 ← 386.20 m → N 50.785102°
E  3.422241°		 →
↑
386.21 m
↓
↑
386.21 m
↓
N 50.781629°
E  3.416748°		 ← 386.23 m →
149 160 m²		 N 50.781629°
E  3.422241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509498596191406 y=0.335731506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509498596191406 × 216)
    floor (0.509498596191406 × 65536)
    floor (33390.5)     		tx = 33390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335731506347656 × 216)
    floor (0.335731506347656 × 65536)
    floor (22002.5)     		ty = 22002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33390 / 22002 ti = "16/33390/22002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33390/22002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33390 ÷ 216
    33390 ÷ 65536     		x = 0.509490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22002 ÷ 216
    22002 ÷ 65536     		y = 0.335723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509490966796875 × 2 - 1) × π
    0.01898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05963350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335723876953125 × 2 - 1) × π
    0.32855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03217732261905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05963350} λ = 0.05963350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03217732261905))-π/2
    2×atan(2.80717130307358)-π/2
    2×1.22858178107401-π/2
    2.45716356214802-1.57079632675     		φ = 0.88636724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05963350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.416748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88636724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.785102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33390 KachelY 22002 0.05963350 0.88636724 3.416748 50.785102
    Oben rechts KachelX + 1 33391 KachelY 22002 0.05972938 0.88636724 3.422241 50.785102
    Unten links KachelX 33390 KachelY + 1 22003 0.05963350 0.88630662 3.416748 50.781629
    Unten rechts KachelX + 1 33391 KachelY + 1 22003 0.05972938 0.88630662 3.422241 50.781629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88636724-0.88630662) × R
    6.06199999999557e-05 × 6371000     		dl = 386.210019999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88636724-0.88630662) × R
    6.06199999999557e-05 × 6371000     		dr = 386.210019999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05963350-0.05972938) × cos(0.88636724) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.632230782372821 × 6371000     		do = 386.199109113994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05963350-0.05972938) × cos(0.88630662) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.632277748382146 × 6371000     		du = 386.2277983703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88636724)-sin(0.88630662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632230782372821-0.632277748382146)×R²
    abs(0.05972938-0.05963350)×4.6966009325522e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.6966009325522e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.6966009325522e-05×40589641000000     		ar = 149159.505739564m²