Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33364 / 22149
↖ ↑ ↗
← N 50.271788°
E  3.273926°		 ← 390.42 m → N 50.271788°
E  3.279419°		 →
↑
390.41 m
↓
↑
390.41 m
↓
N 50.268277°
E  3.273926°		 ← 390.45 m →
152 433 m²		 N 50.268277°
E  3.279419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509101867675781 y=0.337974548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509101867675781 × 216)
    floor (0.509101867675781 × 65536)
    floor (33364.5)     		tx = 33364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337974548339844 × 216)
    floor (0.337974548339844 × 65536)
    floor (22149.5)     		ty = 22149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33364 / 22149 ti = "16/33364/22149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33364/22149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33364 ÷ 216
    33364 ÷ 65536     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22149 ÷ 216
    22149 ÷ 65536     		y = 0.337966918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337966918945312 × 2 - 1) × π
    0.324066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01808387413075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01808387413075))-π/2
    2×atan(2.76788606143199)-π/2
    2×1.22410227240818-π/2
    2.44820454481636-1.57079632675     		φ = 0.87740822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87740822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.271788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33364 KachelY 22149 0.05714078 0.87740822 3.273926 50.271788
    Oben rechts KachelX + 1 33365 KachelY 22149 0.05723666 0.87740822 3.279419 50.271788
    Unten links KachelX 33364 KachelY + 1 22150 0.05714078 0.87734694 3.273926 50.268277
    Unten rechts KachelX + 1 33365 KachelY + 1 22150 0.05723666 0.87734694 3.279419 50.268277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87740822-0.87734694) × R
    6.12799999999414e-05 × 6371000     		dl = 390.414879999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87740822-0.87734694) × R
    6.12799999999414e-05 × 6371000     		dr = 390.414879999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05723666) × cos(0.87740822) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.639146587599728 × 6371000     		do = 390.423638972242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05723666) × cos(0.87734694) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.639193715924534 × 6371000     		du = 390.452427379199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87740822)-sin(0.87734694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639146587599728-0.639193715924534)×R²
    abs(0.05723666-0.05714078)×4.71283248055787e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71283248055787e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71283248055787e-05×40589641000000     		ar = 152432.817917277m²