Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33358 / 22066
↖ ↑ ↗
← N 50.562304°
E  3.240967°		 ← 388.04 m → N 50.562304°
E  3.246460°		 →
↑
388.06 m
↓
↑
388.06 m
↓
N 50.558815°
E  3.240967°		 ← 388.07 m →
150 586 m²		 N 50.558815°
E  3.246460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509010314941406 y=0.336708068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509010314941406 × 216)
    floor (0.509010314941406 × 65536)
    floor (33358.5)     		tx = 33358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336708068847656 × 216)
    floor (0.336708068847656 × 65536)
    floor (22066.5)     		ty = 22066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33358 / 22066 ti = "16/33358/22066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33358/22066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33358 ÷ 216
    33358 ÷ 65536     		x = 0.509002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22066 ÷ 216
    22066 ÷ 65536     		y = 0.336700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509002685546875 × 2 - 1) × π
    0.01800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05656554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336700439453125 × 2 - 1) × π
    0.32659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02604139946768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05656554} λ = 0.05656554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02604139946768))-π/2
    2×atan(2.78999945214005)-π/2
    2×1.22663750833204-π/2
    2.45327501666408-1.57079632675     		φ = 0.88247869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05656554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.240967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88247869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.562304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33358 KachelY 22066 0.05656554 0.88247869 3.240967 50.562304
    Oben rechts KachelX + 1 33359 KachelY 22066 0.05666142 0.88247869 3.246460 50.562304
    Unten links KachelX 33358 KachelY + 1 22067 0.05656554 0.88241778 3.240967 50.558815
    Unten rechts KachelX + 1 33359 KachelY + 1 22067 0.05666142 0.88241778 3.246460 50.558815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88247869-0.88241778) × R
    6.09099999999696e-05 × 6371000     		dl = 388.057609999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88247869-0.88241778) × R
    6.09099999999696e-05 × 6371000     		dr = 388.057609999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05656554-0.05666142) × cos(0.88247869) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.635238766106317 × 6371000     		do = 388.036540429416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05656554-0.05666142) × cos(0.88241778) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		du = 388.065275235843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88247869)-sin(0.88241778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635238766106317-0.635285806683885)×R²
    abs(0.05666142-0.05656554)×4.70405775677696e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.70405775677696e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.70405775677696e-05×40589641000000     		ar = 150586.107898424m²