Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33356 / 32236
↖ ↑ ↗
← N  2.921097°
E  3.229980°		 ← 610.06 m → N  2.921097°
E  3.235474°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.915611°
E  3.229980°		 ← 610.06 m →
372 150 m²		 N  2.915611°
E  3.235474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508979797363281 y=0.491889953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508979797363281 × 216)
    floor (0.508979797363281 × 65536)
    floor (33356.5)     		tx = 33356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491889953613281 × 216)
    floor (0.491889953613281 × 65536)
    floor (32236.5)     		ty = 32236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33356 / 32236 ti = "16/33356/32236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33356/32236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33356 ÷ 216
    33356 ÷ 65536     		x = 0.50897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32236 ÷ 216
    32236 ÷ 65536     		y = 0.49188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50897216796875 × 2 - 1) × π
    0.0179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05637379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49188232421875 × 2 - 1) × π
    0.0162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05637379} λ = 0.05637379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0510048611957397))-π/2
    2×atan(1.0523280088432)-π/2
    2×0.810889543770047-π/2
    1.62177908754009-1.57079632675     		φ = 0.05098276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05637379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.229980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05098276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.921097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33356 KachelY 32236 0.05637379 0.05098276 3.229980 2.921097
    Oben rechts KachelX + 1 33357 KachelY 32236 0.05646967 0.05098276 3.235474 2.921097
    Unten links KachelX 33356 KachelY + 1 32237 0.05637379 0.05088701 3.229980 2.915611
    Unten rechts KachelX + 1 33357 KachelY + 1 32237 0.05646967 0.05088701 3.235474 2.915611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05098276-0.05088701) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05098276-0.05088701) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05637379-0.05646967) × cos(0.05098276) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99870066056942 × 6371000     		do = 610.057776585805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05637379-0.05646967) × cos(0.05088701) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99870553547614 × 6371000     		du = 610.06075442979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05098276)-sin(0.05088701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99870066056942-0.99870553547614)×R²
    abs(0.05646967-0.05637379)×4.87490671940982e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.87490671940982e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.87490671940982e-06×40589641000000     		ar = 372150.336121996m²