Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33354 / 22138
↖ ↑ ↗
← N 50.310393°
E  3.218994°		 ← 390.07 m → N 50.310393°
E  3.224487°		 →
↑
390.10 m
↓
↑
390.10 m
↓
N 50.306884°
E  3.218994°		 ← 390.10 m →
152 169 m²		 N 50.306884°
E  3.224487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508949279785156 y=0.337806701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508949279785156 × 216)
    floor (0.508949279785156 × 65536)
    floor (33354.5)     		tx = 33354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337806701660156 × 216)
    floor (0.337806701660156 × 65536)
    floor (22138.5)     		ty = 22138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33354 / 22138 ti = "16/33354/22138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33354/22138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33354 ÷ 216
    33354 ÷ 65536     		x = 0.508941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22138 ÷ 216
    22138 ÷ 65536     		y = 0.337799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508941650390625 × 2 - 1) × π
    0.01788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05618205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337799072265625 × 2 - 1) × π
    0.32440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01913848592239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05618205} λ = 0.05618205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01913848592239))-π/2
    2×atan(2.77080664648132)-π/2
    2×1.22443916150592-π/2
    2.44887832301184-1.57079632675     		φ = 0.87808200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05618205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.218994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87808200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.310393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33354 KachelY 22138 0.05618205 0.87808200 3.218994 50.310393
    Oben rechts KachelX + 1 33355 KachelY 22138 0.05627792 0.87808200 3.224487 50.310393
    Unten links KachelX 33354 KachelY + 1 22139 0.05618205 0.87802077 3.218994 50.306884
    Unten rechts KachelX + 1 33355 KachelY + 1 22139 0.05627792 0.87802077 3.224487 50.306884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87808200-0.87802077) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dl = 390.096330000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87808200-0.87802077) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dr = 390.096330000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05618205-0.05627792) × cos(0.87808200) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.638628248510703 × 6371000     		do = 390.066323766878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05618205-0.05627792) × cos(0.87802077) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.638675364741843 × 6371000     		du = 390.095101784627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87808200)-sin(0.87802077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638628248510703-0.638675364741843)×R²
    abs(0.05627792-0.05618205)×4.71162311405093e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.71162311405093e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.71162311405093e-05×40589641000000     		ar = 152169.054505426m²