Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33351 / 32009
↖ ↑ ↗
← N  4.165637°
E  3.202514°		 ← 609.24 m → N  4.165637°
E  3.208008°		 →
↑
609.20 m
↓
↑
609.20 m
↓
N  4.160158°
E  3.202514°		 ← 609.24 m →
371 146 m²		 N  4.160158°
E  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508903503417969 y=0.488426208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508903503417969 × 216)
    floor (0.508903503417969 × 65536)
    floor (33351.5)     		tx = 33351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488426208496094 × 216)
    floor (0.488426208496094 × 65536)
    floor (32009.5)     		ty = 32009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33351 / 32009 ti = "16/33351/32009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33351/32009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33351 ÷ 216
    33351 ÷ 65536     		x = 0.508895874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32009 ÷ 216
    32009 ÷ 65536     		y = 0.488418579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508895874023438 × 2 - 1) × π
    0.017791748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05589442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488418579101562 × 2 - 1) × π
    0.023162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0727682136232452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05589442} λ = 0.05589442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0727682136232452))-π/2
    2×atan(1.07548122612573)-π/2
    2×0.821750202386095-π/2
    1.64350040477219-1.57079632675     		φ = 0.07270408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05589442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.202514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07270408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.165637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33351 KachelY 32009 0.05589442 0.07270408 3.202514 4.165637
    Oben rechts KachelX + 1 33352 KachelY 32009 0.05599030 0.07270408 3.208008 4.165637
    Unten links KachelX 33351 KachelY + 1 32010 0.05589442 0.07260846 3.202514 4.160158
    Unten rechts KachelX + 1 33352 KachelY + 1 32010 0.05599030 0.07260846 3.208008 4.160158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07270408-0.07260846) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dl = 609.195020000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07270408-0.07260846) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dr = 609.195020000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05589442-0.05599030) × cos(0.07270408) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997358222360642 × 6371000     		do = 609.237746219165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05589442-0.05599030) × cos(0.07260846) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997365163642319 × 6371000     		du = 609.24198631135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07270408)-sin(0.07260846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997358222360642-0.997365163642319)×R²
    abs(0.05599030-0.05589442)×6.94128167733066e-06×R²
    9.58799999999996e-05×6.94128167733066e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×6.94128167733066e-06×40589641000000     		ar = 371145.892797085m²