Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33350 / 32038
↖ ↑ ↗
← N  4.006740°
E  3.197021°		 ← 609.29 m → N  4.006740°
E  3.202514°		 →
↑
609.32 m
↓
↑
609.32 m
↓
N  4.001261°
E  3.197021°		 ← 609.30 m →
371 258 m²		 N  4.001261°
E  3.202514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508888244628906 y=0.488868713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508888244628906 × 216)
    floor (0.508888244628906 × 65536)
    floor (33350.5)     		tx = 33350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488868713378906 × 216)
    floor (0.488868713378906 × 65536)
    floor (32038.5)     		ty = 32038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33350 / 32038 ti = "16/33350/32038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33350/32038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33350 ÷ 216
    33350 ÷ 65536     		x = 0.508880615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32038 ÷ 216
    32038 ÷ 65536     		y = 0.488861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508880615234375 × 2 - 1) × π
    0.01776123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05579855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488861083984375 × 2 - 1) × π
    0.02227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.069987873445282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05579855} λ = 0.05579855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.069987873445282))-π/2
    2×atan(1.07249517550393)-π/2
    2×0.820363566573777-π/2
    1.64072713314755-1.57079632675     		φ = 0.06993081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05579855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.197021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06993081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.006740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33350 KachelY 32038 0.05579855 0.06993081 3.197021 4.006740
    Oben rechts KachelX + 1 33351 KachelY 32038 0.05589442 0.06993081 3.202514 4.006740
    Unten links KachelX 33350 KachelY + 1 32039 0.05579855 0.06983517 3.197021 4.001261
    Unten rechts KachelX + 1 33351 KachelY + 1 32039 0.05589442 0.06983517 3.202514 4.001261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06993081-0.06983517) × R
    9.56399999999941e-05 × 6371000     		dl = 609.322439999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06993081-0.06983517) × R
    9.56399999999941e-05 × 6371000     		dr = 609.322439999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05579855-0.05589442) × cos(0.06993081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997555837211117 × 6371000     		do = 609.294905260648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05579855-0.05589442) × cos(0.06983517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997562515381558 × 6371000     		du = 609.298984205479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06993081)-sin(0.06983517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997555837211117-0.997562515381558)×R²
    abs(0.05589442-0.05579855)×6.67817044097685e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.67817044097685e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.67817044097685e-06×40589641000000     		ar = 371258.301332268m²