Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33349 / 22141
↖ ↑ ↗
← N 50.299867°
E  3.191528°		 ← 390.15 m → N 50.299867°
E  3.197021°		 →
↑
390.16 m
↓
↑
390.16 m
↓
N 50.296358°
E  3.191528°		 ← 390.18 m →
152 228 m²		 N 50.296358°
E  3.197021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508872985839844 y=0.337852478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508872985839844 × 216)
    floor (0.508872985839844 × 65536)
    floor (33349.5)     		tx = 33349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337852478027344 × 216)
    floor (0.337852478027344 × 65536)
    floor (22141.5)     		ty = 22141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33349 / 22141 ti = "16/33349/22141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33349/22141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33349 ÷ 216
    33349 ÷ 65536     		x = 0.508865356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22141 ÷ 216
    22141 ÷ 65536     		y = 0.337844848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508865356445312 × 2 - 1) × π
    0.017730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05570268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337844848632812 × 2 - 1) × π
    0.324310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01885086452467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05570268} λ = 0.05570268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01885086452467))-π/2
    2×atan(2.77000981779883)-π/2
    2×1.22434730976693-π/2
    2.44869461953386-1.57079632675     		φ = 0.87789829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05570268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.191528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87789829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.299867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33349 KachelY 22141 0.05570268 0.87789829 3.191528 50.299867
    Oben rechts KachelX + 1 33350 KachelY 22141 0.05579855 0.87789829 3.197021 50.299867
    Unten links KachelX 33349 KachelY + 1 22142 0.05570268 0.87783705 3.191528 50.296358
    Unten rechts KachelX + 1 33350 KachelY + 1 22142 0.05579855 0.87783705 3.197021 50.296358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87789829-0.87783705) × R
    6.12399999999624e-05 × 6371000     		dl = 390.160039999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87789829-0.87783705) × R
    6.12399999999624e-05 × 6371000     		dr = 390.160039999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05570268-0.05579855) × cos(0.87789829) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.638769605408511 × 6371000     		do = 390.152662831264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05570268-0.05579855) × cos(0.87783705) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.638816722148531 × 6371000     		du = 390.18144115983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87789829)-sin(0.87783705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638769605408511-0.638816722148531)×R²
    abs(0.05579855-0.05570268)×4.71167400197814e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.71167400197814e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.71167400197814e-05×40589641000000     		ar = 152227.592660794m²