Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33348 / 32228
↖ ↑ ↗
← N  2.964984°
E  3.186035°		 ← 610.03 m → N  2.964984°
E  3.191528°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.959498°
E  3.186035°		 ← 610.04 m →
372 136 m²		 N  2.959498°
E  3.191528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508857727050781 y=0.491767883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508857727050781 × 216)
    floor (0.508857727050781 × 65536)
    floor (33348.5)     		tx = 33348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491767883300781 × 216)
    floor (0.491767883300781 × 65536)
    floor (32228.5)     		ty = 32228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33348 / 32228 ti = "16/33348/32228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33348/32228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33348 ÷ 216
    33348 ÷ 65536     		x = 0.50885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32228 ÷ 216
    32228 ÷ 65536     		y = 0.49176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50885009765625 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49176025390625 × 2 - 1) × π
    0.0164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05560680} λ = 0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0517718515896606))-π/2
    2×atan(1.05313544392513)-π/2
    2×0.811272533154232-π/2
    1.62254506630846-1.57079632675     		φ = 0.05174874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05174874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.964984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33348 KachelY 32228 0.05560680 0.05174874 3.186035 2.964984
    Oben rechts KachelX + 1 33349 KachelY 32228 0.05570268 0.05174874 3.191528 2.964984
    Unten links KachelX 33348 KachelY + 1 32229 0.05560680 0.05165299 3.186035 2.959498
    Unten rechts KachelX + 1 33349 KachelY + 1 32229 0.05570268 0.05165299 3.191528 2.959498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05174874-0.05165299) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05174874-0.05165299) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(0.05174874) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998661332732547 × 6371000     		do = 610.033753118446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(0.05165299) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998666280885296 × 6371000     		du = 610.036775704876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05174874)-sin(0.05165299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998661332732547-0.998666280885296)×R²
    abs(0.05570268-0.05560680)×4.94815274920679e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.94815274920679e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.94815274920679e-06×40589641000000     		ar = 372135.694895317m²