Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33348 / 32188
↖ ↑ ↗
← N  3.184395°
E  3.186035°		 ← 609.91 m → N  3.184395°
E  3.191528°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
N  3.178910°
E  3.186035°		 ← 609.91 m →
371 982 m²		 N  3.178910°
E  3.191528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508857727050781 y=0.491157531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508857727050781 × 216)
    floor (0.508857727050781 × 65536)
    floor (33348.5)     		tx = 33348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491157531738281 × 216)
    floor (0.491157531738281 × 65536)
    floor (32188.5)     		ty = 32188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33348 / 32188 ti = "16/33348/32188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33348/32188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33348 ÷ 216
    33348 ÷ 65536     		x = 0.50885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32188 ÷ 216
    32188 ÷ 65536     		y = 0.49114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50885009765625 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49114990234375 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05560680} λ = 0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0556068035592651))-π/2
    2×atan(1.05718192183504)-π/2
    2×0.813187247683497-π/2
    1.62637449536699-1.57079632675     		φ = 0.05557817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05557817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.184395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33348 KachelY 32188 0.05560680 0.05557817 3.186035 3.184395
    Oben rechts KachelX + 1 33349 KachelY 32188 0.05570268 0.05557817 3.191528 3.184395
    Unten links KachelX 33348 KachelY + 1 32189 0.05560680 0.05548244 3.186035 3.178910
    Unten rechts KachelX + 1 33349 KachelY + 1 32189 0.05570268 0.05548244 3.191528 3.178910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05557817-0.05548244) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05557817-0.05548244) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(0.05557817) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998455931031583 × 6371000     		do = 609.908283185418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05560680-0.05570268) × cos(0.05548244) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99846124421606 × 6371000     		du = 609.911528752019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05557817)-sin(0.05548244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998455931031583-0.99846124421606)×R²
    abs(0.05570268-0.05560680)×5.31318447727358e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.31318447727358e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.31318447727358e-06×40589641000000     		ar = 371981.508610087m²