Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33341 / 32225
↖ ↑ ↗
← N  2.981441°
E  3.147583°		 ← 609.96 m → N  2.981441°
E  3.153076°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  2.975956°
E  3.147583°		 ← 609.96 m →
372 052 m²		 N  2.975956°
E  3.153076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508750915527344 y=0.491722106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508750915527344 × 216)
    floor (0.508750915527344 × 65536)
    floor (33341.5)     		tx = 33341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491722106933594 × 216)
    floor (0.491722106933594 × 65536)
    floor (32225.5)     		ty = 32225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33341 / 32225 ti = "16/33341/32225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33341/32225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33341 ÷ 216
    33341 ÷ 65536     		x = 0.508743286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32225 ÷ 216
    32225 ÷ 65536     		y = 0.491714477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508743286132812 × 2 - 1) × π
    0.017486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05493569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491714477539062 × 2 - 1) × π
    0.016571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.052059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05493569} λ = 0.05493569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.052059472987381))-π/2
    2×atan(1.05343839177856)-π/2
    2×0.811416150268118-π/2
    1.62283230053624-1.57079632675     		φ = 0.05203597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05493569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.147583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05203597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.981441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33341 KachelY 32225 0.05493569 0.05203597 3.147583 2.981441
    Oben rechts KachelX + 1 33342 KachelY 32225 0.05503156 0.05203597 3.153076 2.981441
    Unten links KachelX 33341 KachelY + 1 32226 0.05493569 0.05194023 3.147583 2.975956
    Unten rechts KachelX + 1 33342 KachelY + 1 32226 0.05503156 0.05194023 3.153076 2.975956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05203597-0.05194023) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05203597-0.05194023) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05493569-0.05503156) × cos(0.05203597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998646434379994 × 6371000     		do = 609.961028673395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05493569-0.05503156) × cos(0.05194023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998651409478894 × 6371000     		du = 609.964067402957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05203597)-sin(0.05194023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998646434379994-0.998651409478894)×R²
    abs(0.05503156-0.05493569)×4.97509890007297e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.97509890007297e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.97509890007297e-06×40589641000000     		ar = 372052.475502802m²