Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33339 / 32237
↖ ↑ ↗
← N  2.915611°
E  3.136597°		 ← 610 m → N  2.915611°
E  3.142090°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.910125°
E  3.136597°		 ← 610 m →
372 113 m²		 N  2.910125°
E  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508720397949219 y=0.491905212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508720397949219 × 216)
    floor (0.508720397949219 × 65536)
    floor (33339.5)     		tx = 33339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491905212402344 × 216)
    floor (0.491905212402344 × 65536)
    floor (32237.5)     		ty = 32237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33339 / 32237 ti = "16/33339/32237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33339/32237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33339 ÷ 216
    33339 ÷ 65536     		x = 0.508712768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32237 ÷ 216
    32237 ÷ 65536     		y = 0.491897583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508712768554688 × 2 - 1) × π
    0.017425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05474394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491897583007812 × 2 - 1) × π
    0.016204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0509089873964996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05474394} λ = 0.05474394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0509089873964996))-π/2
    2×atan(1.05222712299518)-π/2
    2×0.810841669039853-π/2
    1.62168333807971-1.57079632675     		φ = 0.05088701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05474394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.136597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05088701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.915611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33339 KachelY 32237 0.05474394 0.05088701 3.136597 2.915611
    Oben rechts KachelX + 1 33340 KachelY 32237 0.05483981 0.05088701 3.142090 2.915611
    Unten links KachelX 33339 KachelY + 1 32238 0.05474394 0.05079126 3.136597 2.910125
    Unten rechts KachelX + 1 33340 KachelY + 1 32238 0.05483981 0.05079126 3.142090 2.910125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05088701-0.05079126) × R
    9.57500000000056e-05 × 6371000     		dl = 610.023250000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05088701-0.05079126) × R
    9.57500000000056e-05 × 6371000     		dr = 610.023250000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05474394-0.05483981) × cos(0.05088701) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.99870553547614 × 6371000     		do = 609.997126900158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05474394-0.05483981) × cos(0.05079126) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998710401226665 × 6371000     		du = 610.00009884107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05088701)-sin(0.05079126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99870553547614-0.998710401226665)×R²
    abs(0.05483981-0.05474394)×4.86575052482952e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.86575052482952e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.86575052482952e-06×40589641000000     		ar = 372113.336603134m²