Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33336 / 32024
↖ ↑ ↗
← N  4.083453°
E  3.120117°		 ← 609.24 m → N  4.083453°
E  3.125610°		 →
↑
609.26 m
↓
↑
609.26 m
↓
N  4.077974°
E  3.120117°		 ← 609.24 m →
371 184 m²		 N  4.077974°
E  3.125610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508674621582031 y=0.488655090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508674621582031 × 216)
    floor (0.508674621582031 × 65536)
    floor (33336.5)     		tx = 33336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488655090332031 × 216)
    floor (0.488655090332031 × 65536)
    floor (32024.5)     		ty = 32024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33336 / 32024 ti = "16/33336/32024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33336/32024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33336 ÷ 216
    33336 ÷ 65536     		x = 0.5086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32024 ÷ 216
    32024 ÷ 65536     		y = 0.4886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4886474609375 × 2 - 1) × π
    0.022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0713301066346436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05445632} λ = 0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0713301066346436))-π/2
    2×atan(1.07393568065456)-π/2
    2×0.821033011257313-π/2
    1.64206602251463-1.57079632675     		φ = 0.07126970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07126970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.083453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33336 KachelY 32024 0.05445632 0.07126970 3.120117 4.083453
    Oben rechts KachelX + 1 33337 KachelY 32024 0.05455219 0.07126970 3.125610 4.083453
    Unten links KachelX 33336 KachelY + 1 32025 0.05445632 0.07117407 3.120117 4.077974
    Unten rechts KachelX + 1 33337 KachelY + 1 32025 0.05455219 0.07117407 3.125610 4.077974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07126970-0.07117407) × R
    9.56299999999993e-05 × 6371000     		dl = 609.258729999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07126970-0.07117407) × R
    9.56299999999993e-05 × 6371000     		dr = 609.258729999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05445632-0.05455219) × cos(0.07126970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997461389749002 × 6371000     		do = 609.237217905881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05445632-0.05455219) × cos(0.07117407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997468194941168 × 6371000     		du = 609.241374434028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07126970)-sin(0.07117407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997461389749002-0.997468194941168)×R²
    abs(0.05455219-0.05445632)×6.80519216589293e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.80519216589293e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.80519216589293e-06×40589641000000     		ar = 371184.360133481m²