Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33333 / 31989
↖ ↑ ↗
← N  4.275202°
E  3.103638°		 ← 609.09 m → N  4.275202°
E  3.109131°		 →
↑
609.07 m
↓
↑
609.07 m
↓
N  4.269724°
E  3.103638°		 ← 609.09 m →
370 977 m²		 N  4.269724°
E  3.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508628845214844 y=0.488121032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508628845214844 × 216)
    floor (0.508628845214844 × 65536)
    floor (33333.5)     		tx = 33333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488121032714844 × 216)
    floor (0.488121032714844 × 65536)
    floor (31989.5)     		ty = 31989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33333 / 31989 ti = "16/33333/31989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33333/31989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33333 ÷ 216
    33333 ÷ 65536     		x = 0.508621215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31989 ÷ 216
    31989 ÷ 65536     		y = 0.488113403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508621215820312 × 2 - 1) × π
    0.017242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05416870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488113403320312 × 2 - 1) × π
    0.023773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0746856896080475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05416870} λ = 0.05416870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0746856896080475))-π/2
    2×atan(1.07754541393175)-π/2
    2×0.822706340433603-π/2
    1.64541268086721-1.57079632675     		φ = 0.07461635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05416870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.103638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07461635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.275202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33333 KachelY 31989 0.05416870 0.07461635 3.103638 4.275202
    Oben rechts KachelX + 1 33334 KachelY 31989 0.05426457 0.07461635 3.109131 4.275202
    Unten links KachelX 33333 KachelY + 1 31990 0.05416870 0.07452075 3.103638 4.269724
    Unten rechts KachelX + 1 33334 KachelY + 1 31990 0.05426457 0.07452075 3.109131 4.269724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07461635-0.07452075) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dl = 609.067600000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07461635-0.07452075) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dr = 609.067600000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05416870-0.05426457) × cos(0.07461635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997217491506922 × 6371000     		do = 609.088247842494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05416870-0.05426457) × cos(0.07452075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997224613655601 × 6371000     		du = 609.092597963803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07461635)-sin(0.07452075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997217491506922-0.997224613655601)×R²
    abs(0.05426457-0.05416870)×7.12214867881755e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.12214867881755e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.12214867881755e-06×40589641000000     		ar = 370977.242343177m²