Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33332 / 32244
↖ ↑ ↗
← N  2.877208°
E  3.098144°		 ← 610.08 m → N  2.877208°
E  3.103638°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.871722°
E  3.098144°		 ← 610.08 m →
372 165 m²		 N  2.871722°
E  3.103638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508613586425781 y=0.492012023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508613586425781 × 216)
    floor (0.508613586425781 × 65536)
    floor (33332.5)     		tx = 33332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492012023925781 × 216)
    floor (0.492012023925781 × 65536)
    floor (32244.5)     		ty = 32244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33332 / 32244 ti = "16/33332/32244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33332/32244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33332 ÷ 216
    33332 ÷ 65536     		x = 0.50860595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32244 ÷ 216
    32244 ÷ 65536     		y = 0.49200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50860595703125 × 2 - 1) × π
    0.0172119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05407282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49200439453125 × 2 - 1) × π
    0.0159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05407282} λ = 0.05407282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0502378708018189))-π/2
    2×atan(1.05152119281879)-π/2
    2×0.810506539415914-π/2
    1.62101307883183-1.57079632675     		φ = 0.05021675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05407282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.098144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05021675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.877208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33332 KachelY 32244 0.05407282 0.05021675 3.098144 2.877208
    Oben rechts KachelX + 1 33333 KachelY 32244 0.05416870 0.05021675 3.103638 2.877208
    Unten links KachelX 33332 KachelY + 1 32245 0.05407282 0.05012100 3.098144 2.871722
    Unten rechts KachelX + 1 33333 KachelY + 1 32245 0.05416870 0.05012100 3.103638 2.871722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05021675-0.05012100) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05021675-0.05012100) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05407282-0.05416870) × cos(0.05021675) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998739403949187 × 6371000     		do = 610.081443036676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05407282-0.05416870) × cos(0.05012100) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		du = 610.084376134715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05021675)-sin(0.05012100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998739403949187-0.998744205604148)×R²
    abs(0.05416870-0.05407282)×4.80165496075102e-06×R²
    9.58799999999996e-05×4.80165496075102e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.80165496075102e-06×40589641000000     		ar = 372164.759559256m²