Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33330 / 33266
↖ ↑ ↗
← S  2.734557°
E  3.087158°		 ← 610.09 m → S  2.734557°
E  3.092651°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
S  2.740044°
E  3.087158°		 ← 610.09 m →
372 247 m²		 S  2.740044°
E  3.092651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508583068847656 y=0.507606506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508583068847656 × 216)
    floor (0.508583068847656 × 65536)
    floor (33330.5)     		tx = 33330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507606506347656 × 216)
    floor (0.507606506347656 × 65536)
    floor (33266.5)     		ty = 33266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33330 / 33266 ti = "16/33330/33266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33330/33266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33330 ÷ 216
    33330 ÷ 65536     		x = 0.508575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33266 ÷ 216
    33266 ÷ 65536     		y = 0.507598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508575439453125 × 2 - 1) × π
    0.01715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05388108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.01519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05388108} λ = 0.05388108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0477451520215759))-π/2
    2×atan(0.953376722250763)-π/2
    2×0.761534652206652-π/2
    1.5230693044133-1.57079632675     		φ = -0.04772702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05388108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04772702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.734557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33330 KachelY 33266 0.05388108 -0.04772702 3.087158 -2.734557
    Oben rechts KachelX + 1 33331 KachelY 33266 0.05397695 -0.04772702 3.092651 -2.734557
    Unten links KachelX 33330 KachelY + 1 33267 0.05388108 -0.04782279 3.087158 -2.740044
    Unten rechts KachelX + 1 33331 KachelY + 1 33267 0.05397695 -0.04782279 3.092651 -2.740044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04772702--0.04782279) × R
    9.5769999999995e-05 × 6371000     		dl = 610.150669999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04772702--0.04782279) × R
    9.5769999999995e-05 × 6371000     		dr = 610.150669999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05388108-0.05397695) × cos(-0.04772702) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998861281959738 × 6371000     		do = 610.09225494756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05388108-0.05397695) × cos(-0.04782279) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998856708297404 × 6371000     		du = 610.089461410542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04772702)-sin(-0.04782279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998861281959738-0.998856708297404)×R²
    abs(0.05397695-0.05388108)×4.57366233386214e-06×R²
    9.58700000000048e-05×4.57366233386214e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.57366233386214e-06×40589641000000     		ar = 372247.3461633m²