Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33330 / 32194
↖ ↑ ↗
← N  3.151486°
E  3.087158°		 ← 609.86 m → N  3.151486°
E  3.092651°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
N  3.146001°
E  3.087158°		 ← 609.87 m →
371 916 m²		 N  3.146001°
E  3.092651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508583068847656 y=0.491249084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508583068847656 × 216)
    floor (0.508583068847656 × 65536)
    floor (33330.5)     		tx = 33330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491249084472656 × 216)
    floor (0.491249084472656 × 65536)
    floor (32194.5)     		ty = 32194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33330 / 32194 ti = "16/33330/32194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33330/32194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33330 ÷ 216
    33330 ÷ 65536     		x = 0.508575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32194 ÷ 216
    32194 ÷ 65536     		y = 0.491241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508575439453125 × 2 - 1) × π
    0.01715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05388108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491241455078125 × 2 - 1) × π
    0.01751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05388108} λ = 0.05388108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0550315607638245))-π/2
    2×atan(1.05657396043051)-π/2
    2×0.812900065820468-π/2
    1.62580013164094-1.57079632675     		φ = 0.05500380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05388108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05500380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.151486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33330 KachelY 32194 0.05388108 0.05500380 3.087158 3.151486
    Oben rechts KachelX + 1 33331 KachelY 32194 0.05397695 0.05500380 3.092651 3.151486
    Unten links KachelX 33330 KachelY + 1 32195 0.05388108 0.05490808 3.087158 3.146001
    Unten rechts KachelX + 1 33331 KachelY + 1 32195 0.05397695 0.05490808 3.092651 3.146001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05500380-0.05490808) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05500380-0.05490808) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05388108-0.05397695) × cos(0.05500380) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998487672335744 × 6371000     		do = 609.864058758471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05388108-0.05397695) × cos(0.05490808) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998492930070857 × 6371000     		du = 609.867270118775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05500380)-sin(0.05490808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998487672335744-0.998492930070857)×R²
    abs(0.05397695-0.05388108)×5.25773511250716e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.25773511250716e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.25773511250716e-06×40589641000000     		ar = 371915.671343765m²