Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33329 / 31982
↖ ↑ ↗
← N  4.313547°
E  3.081665°		 ← 609.12 m → N  4.313547°
E  3.087158°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
N  4.308069°
E  3.081665°		 ← 609.13 m →
371 036 m²		 N  4.308069°
E  3.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508567810058594 y=0.488014221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508567810058594 × 216)
    floor (0.508567810058594 × 65536)
    floor (33329.5)     		tx = 33329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488014221191406 × 216)
    floor (0.488014221191406 × 65536)
    floor (31982.5)     		ty = 31982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33329 / 31982 ti = "16/33329/31982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33329/31982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33329 ÷ 216
    33329 ÷ 65536     		x = 0.508560180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31982 ÷ 216
    31982 ÷ 65536     		y = 0.488006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508560180664062 × 2 - 1) × π
    0.017120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05378520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488006591796875 × 2 - 1) × π
    0.02398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0753568062027283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05378520} λ = 0.05378520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0753568062027283))-π/2
    2×atan(1.07826881525673)-π/2
    2×0.823040956641587-π/2
    1.64608191328317-1.57079632675     		φ = 0.07528559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05378520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07528559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.313547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33329 KachelY 31982 0.05378520 0.07528559 3.081665 4.313547
    Oben rechts KachelX + 1 33330 KachelY 31982 0.05388108 0.07528559 3.087158 4.313547
    Unten links KachelX 33329 KachelY + 1 31983 0.05378520 0.07518998 3.081665 4.308069
    Unten rechts KachelX + 1 33330 KachelY + 1 31983 0.05388108 0.07518998 3.087158 4.308069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07528559-0.07518998) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dl = 609.131309999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07528559-0.07518998) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dr = 609.131309999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(0.07528559) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997167378271217 × 6371000     		do = 609.12116882469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(0.07518998) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997174564971036 × 6371000     		du = 609.125558830911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07528559)-sin(0.07518998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997167378271217-0.997174564971036)×R²
    abs(0.05388108-0.05378520)×7.18669981958353e-06×R²
    9.58799999999996e-05×7.18669981958353e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×7.18669981958353e-06×40589641000000     		ar = 371036.112842716m²