Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33329 / 22094
↖ ↑ ↗
← N 50.464498°
E  3.081665°		 ← 388.84 m → N 50.464498°
E  3.087158°		 →
↑
388.82 m
↓
↑
388.82 m
↓
N 50.461001°
E  3.081665°		 ← 388.87 m →
151 196 m²		 N 50.461001°
E  3.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508567810058594 y=0.337135314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508567810058594 × 216)
    floor (0.508567810058594 × 65536)
    floor (33329.5)     		tx = 33329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337135314941406 × 216)
    floor (0.337135314941406 × 65536)
    floor (22094.5)     		ty = 22094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33329 / 22094 ti = "16/33329/22094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33329/22094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33329 ÷ 216
    33329 ÷ 65536     		x = 0.508560180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22094 ÷ 216
    22094 ÷ 65536     		y = 0.337127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508560180664062 × 2 - 1) × π
    0.017120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05378520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337127685546875 × 2 - 1) × π
    0.32574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02335693308896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05378520} λ = 0.05378520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02335693308896))-π/2
    2×atan(2.78251983629449)-π/2
    2×1.22578398571111-π/2
    2.45156797142222-1.57079632675     		φ = 0.88077164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05378520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88077164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.464498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33329 KachelY 22094 0.05378520 0.88077164 3.081665 50.464498
    Oben rechts KachelX + 1 33330 KachelY 22094 0.05388108 0.88077164 3.087158 50.464498
    Unten links KachelX 33329 KachelY + 1 22095 0.05378520 0.88071061 3.081665 50.461001
    Unten rechts KachelX + 1 33330 KachelY + 1 22095 0.05388108 0.88071061 3.087158 50.461001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88077164-0.88071061) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dl = 388.822130000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88077164-0.88071061) × R
    6.10300000000175e-05 × 6371000     		dr = 388.822130000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(0.88077164) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		do = 388.841310079898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05378520-0.05388108) × cos(0.88071061) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.636603288619933 × 6371000     		du = 388.870061026351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88077164)-sin(0.88071061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636556221620188-0.636603288619933)×R²
    abs(0.05388108-0.05378520)×4.70669997444384e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.70669997444384e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.70669997444384e-05×40589641000000     		ar = 151195.695966552m²