Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33328 / 31984
↖ ↑ ↗
← N  4.302591°
E  3.076172°		 ← 609.07 m → N  4.302591°
E  3.081665°		 →
↑
609.07 m
↓
↑
609.07 m
↓
N  4.297114°
E  3.076172°		 ← 609.07 m →
370 964 m²		 N  4.297114°
E  3.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508552551269531 y=0.488044738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508552551269531 × 216)
    floor (0.508552551269531 × 65536)
    floor (33328.5)     		tx = 33328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488044738769531 × 216)
    floor (0.488044738769531 × 65536)
    floor (31984.5)     		ty = 31984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33328 / 31984 ti = "16/33328/31984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33328/31984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33328 ÷ 216
    33328 ÷ 65536     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31984 ÷ 216
    31984 ÷ 65536     		y = 0.488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488037109375 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.075165058604248))-π/2
    2×atan(1.07806207962205)-π/2
    2×0.822945353727711-π/2
    1.64589070745542-1.57079632675     		φ = 0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33328 KachelY 31984 0.05368933 0.07509438 3.076172 4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 33329 KachelY 31984 0.05378520 0.07509438 3.081665 4.302591
    Unten links KachelX 33328 KachelY + 1 31985 0.05368933 0.07499878 3.076172 4.297114
    Unten rechts KachelX + 1 33329 KachelY + 1 31985 0.05378520 0.07499878 3.081665 4.297114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07509438-0.07499878) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dl = 609.067600000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07509438-0.07499878) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dr = 609.067600000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05378520) × cos(0.07509438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 609.066412361885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05378520) × cos(0.07499878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997188909525708 × 6371000     		du = 609.070790317926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07509438)-sin(0.07499878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997188909525708)×R²
    abs(0.05378520-0.05368933)×7.16772053444004e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.16772053444004e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.16772053444004e-06×40589641000000     		ar = 370963.951535972m²