Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33326 / 33277
↖ ↑ ↗
← S  2.794912°
E  3.065186°		 ← 610.06 m → S  2.794912°
E  3.070678°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
S  2.800398°
E  3.065186°		 ← 610.06 m →
372 190 m²		 S  2.800398°
E  3.070678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508522033691406 y=0.507774353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508522033691406 × 216)
    floor (0.508522033691406 × 65536)
    floor (33326.5)     		tx = 33326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507774353027344 × 216)
    floor (0.507774353027344 × 65536)
    floor (33277.5)     		ty = 33277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33326 / 33277 ti = "16/33326/33277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33326/33277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33326 ÷ 216
    33326 ÷ 65536     		x = 0.508514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33277 ÷ 216
    33277 ÷ 65536     		y = 0.507766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508514404296875 × 2 - 1) × π
    0.01702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05349758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507766723632812 × 2 - 1) × π
    -0.015533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0487997638132172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05349758} λ = 0.05349758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0487997638132172))-π/2
    2×atan(0.952371809906944)-π/2
    2×0.761007960111238-π/2
    1.52201592022248-1.57079632675     		φ = -0.04878041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05349758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.065186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04878041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.794912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33326 KachelY 33277 0.05349758 -0.04878041 3.065186 -2.794912
    Oben rechts KachelX + 1 33327 KachelY 33277 0.05359345 -0.04878041 3.070678 -2.794912
    Unten links KachelX 33326 KachelY + 1 33278 0.05349758 -0.04887617 3.065186 -2.800398
    Unten rechts KachelX + 1 33327 KachelY + 1 33278 0.05359345 -0.04887617 3.070678 -2.800398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04878041--0.04887617) × R
    9.57599999999934e-05 × 6371000     		dl = 610.086959999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04878041--0.04887617) × R
    9.57599999999934e-05 × 6371000     		dr = 610.086959999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05349758-0.05359345) × cos(-0.04878041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998810471704546 × 6371000     		do = 610.061220665054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05349758-0.05359345) × cos(-0.04887617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998805797765283 × 6371000     		du = 610.058365880115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04878041)-sin(-0.04887617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998810471704546-0.998805797765283)×R²
    abs(0.05359345-0.05349758)×4.67393926273374e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.67393926273374e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67393926273374e-06×40589641000000     		ar = 372189.524980299m²