Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33326 / 32014
↖ ↑ ↗
← N  4.138243°
E  3.065186°		 ← 609.20 m → N  4.138243°
E  3.070678°		 →
↑
609.26 m
↓
↑
609.26 m
↓
N  4.132764°
E  3.065186°		 ← 609.20 m →
371 159 m²		 N  4.132764°
E  3.070678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508522033691406 y=0.488502502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508522033691406 × 216)
    floor (0.508522033691406 × 65536)
    floor (33326.5)     		tx = 33326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488502502441406 × 216)
    floor (0.488502502441406 × 65536)
    floor (32014.5)     		ty = 32014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33326 / 32014 ti = "16/33326/32014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33326/32014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33326 ÷ 216
    33326 ÷ 65536     		x = 0.508514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32014 ÷ 216
    32014 ÷ 65536     		y = 0.488494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508514404296875 × 2 - 1) × π
    0.01702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05349758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488494873046875 × 2 - 1) × π
    0.02301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0722888446270447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05349758} λ = 0.05349758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0722888446270447))-π/2
    2×atan(1.07496579732009)-π/2
    2×0.821511146928118-π/2
    1.64302229385624-1.57079632675     		φ = 0.07222597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05349758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.065186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07222597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.138243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33326 KachelY 32014 0.05349758 0.07222597 3.065186 4.138243
    Oben rechts KachelX + 1 33327 KachelY 32014 0.05359345 0.07222597 3.070678 4.138243
    Unten links KachelX 33326 KachelY + 1 32015 0.05349758 0.07213034 3.065186 4.132764
    Unten rechts KachelX + 1 33327 KachelY + 1 32015 0.05359345 0.07213034 3.070678 4.132764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07222597-0.07213034) × R
    9.56299999999993e-05 × 6371000     		dl = 609.258729999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07222597-0.07213034) × R
    9.56299999999993e-05 × 6371000     		dr = 609.258729999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05349758-0.05359345) × cos(0.07222597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997392838299091 × 6371000     		do = 609.195347518659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05349758-0.05359345) × cos(0.07213034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997399734704392 × 6371000     		du = 609.199559758674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07222597)-sin(0.07213034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997392838299091-0.997399734704392)×R²
    abs(0.05359345-0.05349758)×6.89640530071589e-06×R²
    9.58699999999979e-05×6.89640530071589e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×6.89640530071589e-06×40589641000000     		ar = 371158.867205975m²