Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33320 / 32184
↖ ↑ ↗
← N  3.206333°
E  3.032227°		 ← 609.83 m → N  3.206333°
E  3.037720°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
N  3.200848°
E  3.032227°		 ← 609.83 m →
371 935 m²		 N  3.200848°
E  3.037720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508430480957031 y=0.491096496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508430480957031 × 216)
    floor (0.508430480957031 × 65536)
    floor (33320.5)     		tx = 33320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491096496582031 × 216)
    floor (0.491096496582031 × 65536)
    floor (32184.5)     		ty = 32184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33320 / 32184 ti = "16/33320/32184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33320/32184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33320 ÷ 216
    33320 ÷ 65536     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32184 ÷ 216
    32184 ÷ 65536     		y = 0.4910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4910888671875 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(1.05758742377343)-π/2
    2×0.813378697166567-π/2
    1.62675739433313-1.57079632675     		φ = 0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33320 KachelY 32184 0.05292234 0.05596107 3.032227 3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 33321 KachelY 32184 0.05301821 0.05596107 3.037720 3.206333
    Unten links KachelX 33320 KachelY + 1 32185 0.05292234 0.05586534 3.032227 3.200848
    Unten rechts KachelX + 1 33321 KachelY + 1 32185 0.05301821 0.05586534 3.037720 3.200848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05596107-0.05586534) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05596107-0.05586534) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(0.05596107) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 609.831635441654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(0.05586534) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998439937694576 × 6371000     		du = 609.83490302344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05596107)-sin(0.05586534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998439937694576)×R²
    abs(0.05301821-0.05292234)×5.34978260346985e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.34978260346985e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.34978260346985e-06×40589641000000     		ar = 371934.768184243m²