Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33318 / 32203
↖ ↑ ↗
← N  3.102121°
E  3.021240°		 ← 609.89 m → N  3.102121°
E  3.026733°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.096636°
E  3.021240°		 ← 609.90 m →
372 011 m²		 N  3.096636°
E  3.026733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508399963378906 y=0.491386413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508399963378906 × 216)
    floor (0.508399963378906 × 65536)
    floor (33318.5)     		tx = 33318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491386413574219 × 216)
    floor (0.491386413574219 × 65536)
    floor (32203.5)     		ty = 32203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33318 / 32203 ti = "16/33318/32203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33318/32203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33318 ÷ 216
    33318 ÷ 65536     		x = 0.508392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32203 ÷ 216
    32203 ÷ 65536     		y = 0.491378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508392333984375 × 2 - 1) × π
    0.01678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05273059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491378784179688 × 2 - 1) × π
    0.017242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0541686965706635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05273059} λ = 0.05273059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0541686965706635))-π/2
    2×atan(1.05566267380747)-π/2
    2×0.812469276026411-π/2
    1.62493855205282-1.57079632675     		φ = 0.05414223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05273059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.021240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05414223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.102121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33318 KachelY 32203 0.05273059 0.05414223 3.021240 3.102121
    Oben rechts KachelX + 1 33319 KachelY 32203 0.05282646 0.05414223 3.026733 3.102121
    Unten links KachelX 33318 KachelY + 1 32204 0.05273059 0.05404649 3.021240 3.096636
    Unten rechts KachelX + 1 33319 KachelY + 1 32204 0.05282646 0.05404649 3.026733 3.096636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05414223-0.05404649) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05414223-0.05404649) × R
    9.57399999999969e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05273059-0.05282646) × cos(0.05414223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998534667471787 × 6371000     		do = 609.892762812771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05273059-0.05282646) × cos(0.05404649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998539843940386 × 6371000     		du = 609.895924536483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05414223)-sin(0.05404649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998534667471787-0.998539843940386)×R²
    abs(0.05282646-0.05273059)×5.17646859876653e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.17646859876653e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.17646859876653e-06×40589641000000     		ar = 372010.873600513m²