Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33316 / 32197
↖ ↑ ↗
← N  3.135031°
E  3.010254°		 ← 609.94 m → N  3.135031°
E  3.015747°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
N  3.129546°
E  3.010254°		 ← 609.94 m →
371 999 m²		 N  3.129546°
E  3.015747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508369445800781 y=0.491294860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508369445800781 × 216)
    floor (0.508369445800781 × 65536)
    floor (33316.5)     		tx = 33316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491294860839844 × 216)
    floor (0.491294860839844 × 65536)
    floor (32197.5)     		ty = 32197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33316 / 32197 ti = "16/33316/32197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33316/32197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33316 ÷ 216
    33316 ÷ 65536     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32197 ÷ 216
    32197 ÷ 65536     		y = 0.491287231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491287231445312 × 2 - 1) × π
    0.017425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0547439393661041))-π/2
    2×atan(1.05627011085013)-π/2
    2×0.812756471477244-π/2
    1.62551294295449-1.57079632675     		φ = 0.05471662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05471662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.135031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33316 KachelY 32197 0.05253884 0.05471662 3.010254 3.135031
    Oben rechts KachelX + 1 33317 KachelY 32197 0.05263472 0.05471662 3.015747 3.135031
    Unten links KachelX 33316 KachelY + 1 32198 0.05253884 0.05462089 3.010254 3.129546
    Unten rechts KachelX + 1 33317 KachelY + 1 32198 0.05263472 0.05462089 3.015747 3.129546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05471662-0.05462089) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dl = 609.895830000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05471662-0.05462089) × R
    9.57300000000022e-05 × 6371000     		dr = 609.895830000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05263472) × cos(0.05471662) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99850341918929 × 6371000     		do = 609.937291396835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05263472) × cos(0.05462089) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.998508650022754 × 6371000     		du = 609.940486659198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05471662)-sin(0.05462089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99850341918929-0.998508650022754)×R²
    abs(0.05263472-0.05253884)×5.23083346382069e-06×R²
    9.58799999999996e-05×5.23083346382069e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×5.23083346382069e-06×40589641000000     		ar = 371999.185257122m²