Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33315 / 32195
↖ ↑ ↗
← N  3.146001°
E  3.004761°		 ← 609.87 m → N  3.146001°
E  3.010254°		 →
↑
609.90 m
↓
↑
609.90 m
↓
N  3.140516°
E  3.004761°		 ← 609.87 m →
371 956 m²		 N  3.140516°
E  3.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508354187011719 y=0.491264343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508354187011719 × 216)
    floor (0.508354187011719 × 65536)
    floor (33315.5)     		tx = 33315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491264343261719 × 216)
    floor (0.491264343261719 × 65536)
    floor (32195.5)     		ty = 32195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33315 / 32195 ti = "16/33315/32195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33315/32195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33315 ÷ 216
    33315 ÷ 65536     		x = 0.508346557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32195 ÷ 216
    32195 ÷ 65536     		y = 0.491256713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508346557617188 × 2 - 1) × π
    0.016693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05244297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491256713867188 × 2 - 1) × π
    0.017486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0549356869645844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05244297} λ = 0.05244297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0549356869645844))-π/2
    2×atan(1.05647266752649)-π/2
    2×0.812852201291093-π/2
    1.62570440258219-1.57079632675     		φ = 0.05490808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05244297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.004761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05490808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.146001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33315 KachelY 32195 0.05244297 0.05490808 3.004761 3.146001
    Oben rechts KachelX + 1 33316 KachelY 32195 0.05253884 0.05490808 3.010254 3.146001
    Unten links KachelX 33315 KachelY + 1 32196 0.05244297 0.05481235 3.004761 3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 33316 KachelY + 1 32196 0.05253884 0.05481235 3.010254 3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05490808-0.05481235) × R
    9.57299999999953e-05 × 6371000     		dl = 609.89582999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05490808-0.05481235) × R
    9.57299999999953e-05 × 6371000     		dr = 609.89582999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05244297-0.05253884) × cos(0.05490808) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998492930070857 × 6371000     		do = 609.867270118775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05244297-0.05253884) × cos(0.05481235) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 609.870476225901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05490808)-sin(0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998492930070857-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05253884-0.05244297)×5.24913445154596e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.24913445154596e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.24913445154596e-06×40589641000000     		ar = 371956.482878646m²