Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33314 / 34299
↖ ↑ ↗
← S  8.379996°
E  2.999267°		 ← 604.33 m → S  8.379996°
E  3.004761°		 →
↑
604.29 m
↓
↑
604.29 m
↓
S  8.385431°
E  2.999267°		 ← 604.32 m →
365 187 m²		 S  8.385431°
E  3.004761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508338928222656 y=0.523368835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508338928222656 × 216)
    floor (0.508338928222656 × 65536)
    floor (33314.5)     		tx = 33314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523368835449219 × 216)
    floor (0.523368835449219 × 65536)
    floor (34299.5)     		ty = 34299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33314 / 34299 ti = "16/33314/34299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33314/34299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33314 ÷ 216
    33314 ÷ 65536     		x = 0.508331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34299 ÷ 216
    34299 ÷ 65536     		y = 0.523361206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508331298828125 × 2 - 1) × π
    0.01666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05234709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523361206054688 × 2 - 1) × π
    -0.046722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.146782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05234709} λ = 0.05234709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146782786636612))-π/2
    2×atan(0.863481516772036)-π/2
    2×0.712268897948362-π/2
    1.42453779589672-1.57079632675     		φ = -0.14625853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05234709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14625853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.379996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33314 KachelY 34299 0.05234709 -0.14625853 2.999267 -8.379996
    Oben rechts KachelX + 1 33315 KachelY 34299 0.05244297 -0.14625853 3.004761 -8.379996
    Unten links KachelX 33314 KachelY + 1 34300 0.05234709 -0.14635338 2.999267 -8.385431
    Unten rechts KachelX + 1 33315 KachelY + 1 34300 0.05244297 -0.14635338 3.004761 -8.385431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14625853--0.14635338) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dl = 604.289350000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14625853--0.14635338) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dr = 604.289350000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05234709-0.05244297) × cos(-0.14625853) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989323274224845 × 6371000     		do = 604.32958625869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05234709-0.05244297) × cos(-0.14635338) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989309446559684 × 6371000     		du = 604.321139608961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14625853)-sin(-0.14635338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989323274224845-0.989309446559684)×R²
    abs(0.05244297-0.05234709)×1.38276651608926e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.38276651608926e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.38276651608926e-05×40589641000000     		ar = 365187.381029584m²