Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33311 / 22197
↖ ↑ ↗
← N 50.102965°
E  2.982788°		 ← 391.81 m → N 50.102965°
E  2.988281°		 →
↑
391.82 m
↓
↑
391.82 m
↓
N 50.099441°
E  2.982788°		 ← 391.84 m →
153 522 m²		 N 50.099441°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508293151855469 y=0.338706970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508293151855469 × 216)
    floor (0.508293151855469 × 65536)
    floor (33311.5)     		tx = 33311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338706970214844 × 216)
    floor (0.338706970214844 × 65536)
    floor (22197.5)     		ty = 22197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33311 / 22197 ti = "16/33311/22197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33311/22197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33311 ÷ 216
    33311 ÷ 65536     		x = 0.508285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22197 ÷ 216
    22197 ÷ 65536     		y = 0.338699340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508285522460938 × 2 - 1) × π
    0.016571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05205947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338699340820312 × 2 - 1) × π
    0.322601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01348193176723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05205947} λ = 0.05205947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01348193176723))-π/2
    2×atan(2.75517767337121)-π/2
    2×1.22262901104417-π/2
    2.44525802208833-1.57079632675     		φ = 0.87446170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05205947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.982788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87446170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.102965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33311 KachelY 22197 0.05205947 0.87446170 2.982788 50.102965
    Oben rechts KachelX + 1 33312 KachelY 22197 0.05215535 0.87446170 2.988281 50.102965
    Unten links KachelX 33311 KachelY + 1 22198 0.05205947 0.87440020 2.982788 50.099441
    Unten rechts KachelX + 1 33312 KachelY + 1 22198 0.05215535 0.87440020 2.988281 50.099441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87446170-0.87440020) × R
    6.15000000000476e-05 × 6371000     		dl = 391.816500000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87446170-0.87440020) × R
    6.15000000000476e-05 × 6371000     		dr = 391.816500000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05205947-0.05215535) × cos(0.87446170) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.641409933940794 × 6371000     		do = 391.806207434463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05205947-0.05215535) × cos(0.87440020) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		du = 391.835028314431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87446170)-sin(0.87440020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641409933940794-0.641457115425838)×R²
    abs(0.05215535-0.05205947)×4.71814850439012e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.71814850439012e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.71814850439012e-05×40589641000000     		ar = 153521.783172293m²