Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33310 / 32187
↖ ↑ ↗
← N  3.189879°
E  2.977295°		 ← 609.84 m → N  3.189879°
E  2.982788°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
N  3.184395°
E  2.977295°		 ← 609.84 m →
371 902 m²		 N  3.184395°
E  2.982788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508277893066406 y=0.491142272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508277893066406 × 216)
    floor (0.508277893066406 × 65536)
    floor (33310.5)     		tx = 33310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491142272949219 × 216)
    floor (0.491142272949219 × 65536)
    floor (32187.5)     		ty = 32187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33310 / 32187 ti = "16/33310/32187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33310/32187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33310 ÷ 216
    33310 ÷ 65536     		x = 0.508270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32187 ÷ 216
    32187 ÷ 65536     		y = 0.491134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508270263671875 × 2 - 1) × π
    0.01654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05196360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491134643554688 × 2 - 1) × π
    0.017730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0557026773585053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05196360} λ = 0.05196360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0557026773585053))-π/2
    2×atan(1.05728328274123)-π/2
    2×0.813235110437716-π/2
    1.62647022087543-1.57079632675     		φ = 0.05567389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05196360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05567389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.189879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33310 KachelY 32187 0.05196360 0.05567389 2.977295 3.189879
    Oben rechts KachelX + 1 33311 KachelY 32187 0.05205947 0.05567389 2.982788 3.189879
    Unten links KachelX 33310 KachelY + 1 32188 0.05196360 0.05557817 2.977295 3.184395
    Unten rechts KachelX + 1 33311 KachelY + 1 32188 0.05205947 0.05557817 2.982788 3.184395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05567389-0.05557817) × R
    9.57199999999936e-05 × 6371000     		dl = 609.832119999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05567389-0.05557817) × R
    9.57199999999936e-05 × 6371000     		dr = 609.832119999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05196360-0.05205947) × cos(0.05567389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998450609253474 × 6371000     		do = 609.841421081058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05196360-0.05205947) × cos(0.05557817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998455931031583 × 6371000     		du = 609.844671558041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05567389)-sin(0.05557817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998450609253474-0.998455931031583)×R²
    abs(0.05205947-0.05196360)×5.32177810852463e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.32177810852463e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.32177810852463e-06×40589641000000     		ar = 371901.87808823m²