Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33310 / 32165
↖ ↑ ↗
← N  3.310534°
E  2.977295°		 ← 609.77 m → N  3.310534°
E  2.982788°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.305050°
E  2.977295°		 ← 609.77 m →
371 819 m²		 N  3.305050°
E  2.982788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508277893066406 y=0.490806579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508277893066406 × 216)
    floor (0.508277893066406 × 65536)
    floor (33310.5)     		tx = 33310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490806579589844 × 216)
    floor (0.490806579589844 × 65536)
    floor (32165.5)     		ty = 32165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33310 / 32165 ti = "16/33310/32165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33310/32165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33310 ÷ 216
    33310 ÷ 65536     		x = 0.508270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32165 ÷ 216
    32165 ÷ 65536     		y = 0.490798950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508270263671875 × 2 - 1) × π
    0.01654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05196360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490798950195312 × 2 - 1) × π
    0.018402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0578119009417877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05196360} λ = 0.05196360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0578119009417877))-π/2
    2×atan(1.05951568306347)-π/2
    2×0.814288025654597-π/2
    1.62857605130919-1.57079632675     		φ = 0.05777972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05196360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05777972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.310534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33310 KachelY 32165 0.05196360 0.05777972 2.977295 3.310534
    Oben rechts KachelX + 1 33311 KachelY 32165 0.05205947 0.05777972 2.982788 3.310534
    Unten links KachelX 33310 KachelY + 1 32166 0.05196360 0.05768401 2.977295 3.305050
    Unten rechts KachelX + 1 33311 KachelY + 1 32166 0.05205947 0.05768401 2.982788 3.305050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05777972-0.05768401) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05777972-0.05768401) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05196360-0.05205947) × cos(0.05777972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998331216324844 × 6371000     		do = 609.768497340426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05196360-0.05205947) × cos(0.05768401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998336738772757 × 6371000     		du = 609.771870384071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05777972)-sin(0.05768401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998331216324844-0.998336738772757)×R²
    abs(0.05205947-0.05196360)×5.52244791318657e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.52244791318657e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.52244791318657e-06×40589641000000     		ar = 371818.595762912m²