Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33309 / 32166
↖ ↑ ↗
← N  3.305050°
E  2.971802°		 ← 609.77 m → N  3.305050°
E  2.977295°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.299567°
E  2.971802°		 ← 609.78 m →
371 821 m²		 N  3.299567°
E  2.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508262634277344 y=0.490821838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508262634277344 × 216)
    floor (0.508262634277344 × 65536)
    floor (33309.5)     		tx = 33309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490821838378906 × 216)
    floor (0.490821838378906 × 65536)
    floor (32166.5)     		ty = 32166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33309 / 32166 ti = "16/33309/32166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33309/32166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33309 ÷ 216
    33309 ÷ 65536     		x = 0.508255004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32166 ÷ 216
    32166 ÷ 65536     		y = 0.490814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508255004882812 × 2 - 1) × π
    0.016510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05186773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490814208984375 × 2 - 1) × π
    0.01837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05186773} λ = 0.05186773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0577160271425476))-π/2
    2×atan(1.05941410813884)-π/2
    2×0.814240168618898-π/2
    1.6284803372378-1.57079632675     		φ = 0.05768401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05186773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.971802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05768401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.305050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33309 KachelY 32166 0.05186773 0.05768401 2.971802 3.305050
    Oben rechts KachelX + 1 33310 KachelY 32166 0.05196360 0.05768401 2.977295 3.305050
    Unten links KachelX 33309 KachelY + 1 32167 0.05186773 0.05758830 2.971802 3.299567
    Unten rechts KachelX + 1 33310 KachelY + 1 32167 0.05196360 0.05758830 2.977295 3.299567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05768401-0.05758830) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05768401-0.05758830) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05186773-0.05196360) × cos(0.05768401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998336738772757 × 6371000     		do = 609.771870384071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05186773-0.05196360) × cos(0.05758830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998342252075502 × 6371000     		du = 609.775237841961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05768401)-sin(0.05758830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998336738772757-0.998342252075502)×R²
    abs(0.05196360-0.05186773)×5.51330274523032e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.51330274523032e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.51330274523032e-06×40589641000000     		ar = 371820.650835371m²