Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33306 / 32177
↖ ↑ ↗
← N  3.244724°
E  2.955322°		 ← 609.87 m → N  3.244724°
E  2.960816°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
N  3.239240°
E  2.955322°		 ← 609.88 m →
371 921 m²		 N  3.239240°
E  2.960816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508216857910156 y=0.490989685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508216857910156 × 216)
    floor (0.508216857910156 × 65536)
    floor (33306.5)     		tx = 33306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490989685058594 × 216)
    floor (0.490989685058594 × 65536)
    floor (32177.5)     		ty = 32177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33306 / 32177 ti = "16/33306/32177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33306/32177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33306 ÷ 216
    33306 ÷ 65536     		x = 0.508209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32177 ÷ 216
    32177 ÷ 65536     		y = 0.490982055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508209228515625 × 2 - 1) × π
    0.01641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05158010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490982055664062 × 2 - 1) × π
    0.018035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0566614153509064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05158010} λ = 0.05158010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0566614153509064))-π/2
    2×atan(1.0582974264645)-π/2
    2×0.813713723863914-π/2
    1.62742744772783-1.57079632675     		φ = 0.05663112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05158010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05663112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.244724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33306 KachelY 32177 0.05158010 0.05663112 2.955322 3.244724
    Oben rechts KachelX + 1 33307 KachelY 32177 0.05167598 0.05663112 2.960816 3.244724
    Unten links KachelX 33306 KachelY + 1 32178 0.05158010 0.05653540 2.955322 3.239240
    Unten rechts KachelX + 1 33307 KachelY + 1 32178 0.05167598 0.05653540 2.960816 3.239240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05663112-0.05653540) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05663112-0.05653540) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05158010-0.05167598) × cos(0.05663112) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99839688663572 × 6371000     		do = 609.872215828863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05158010-0.05167598) × cos(0.05653540) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.998402299895711 × 6371000     		du = 609.87552252674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05663112)-sin(0.05653540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99839688663572-0.998402299895711)×R²
    abs(0.05167598-0.05158010)×5.41325999137143e-06×R²
    9.58800000000065e-05×5.41325999137143e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×5.41325999137143e-06×40589641000000     		ar = 371920.674857281m²